Dubbelverhouding

In de meetkunde is de dubbelverhouding van vier collineaire punten gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie.

DefinitieBewerken

De dubbelverhouding van de vier collineaire punten   en   in de euclidische ruimte, genoteerd als   of   is gedefinieerd als het quotiënt van de deelverhoudingen   en  :

 

Als   en   de coördinaten zijn van respectievelijk   en   op de rechte als getallenrechte, wordt de dubbelverhouding:

 

De dubbelverhouding is positief als de deelpunten   en   ofwel allebei op het lijnstuk   ofwel allebei buiten het lijnstuk   liggen. Ligt een van de punten op het lijnstuk   en een erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.

Verwisselt men   en   of   en  , dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus

 

Verwisselt men   en  , dan krijgt men

 

Vier punten op een lijn hebben dus zes verschillende waarden als dubbelverhouding, namelijk:

  en  

Bij vier punten op gelijkmatige afstand en in volgorde krijgen we bijvoorbeeld 4. De andere vijf waarden zijn dan 1/4, -3, -1/3, 3/4 en 4/3.

Harmonische liggingBewerken

Als de punten   en   het lijnstuk   respectievelijk inwendig en uitwendig in dezelfde verhouding verdelen, geldt voor de deelverhoudingen

 ,

dus voor de dubbelverhouding

 

Men zegt dat de vier punten in harmonische ligging zijn.

De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:

  • Het geordende viertal punten   is een harmonisch puntenviertal.
  • De dubbelverhouding  .
  • De punten   en   liggen harmonisch ten opzichte van de punten   en  .
  • Het punt   is harmonisch toegevoegd aan of harmonisch verwant met het punt   ten opzichte van de punten   en  .

VoorbeeldenBewerken

 
E, F, G zijn diagonaalpunten,
(EFPQ) = -1
  • Van de hoeken tussen twee snijdende rechten   en   zijn   en   de bissectrices. De rechte   snijdt de vier rechten   en   in opvolgend de punten   en  . De punten   en   zijn dan harmonisch toegevoegd ten opzichte van de punten   en  .
  • Een lijn door twee diagonaalpunten van een volledige vierhoek snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van die diagonaalpunten harmonisch liggen (zie de figuur hiernaast).
  • De binnen- en buitenbissectrice van een hoek van een driehoek snijden de overstaande zijde van die hoek in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijde.

EigenschappenBewerken

 
 

De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als   en   twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen   en   concurrent zijn, geldt  .

Dubbelverhouding van lijnenBewerken

Door de invariantie van de dubbelverhouding onder centrale projectie kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente coplanaire rechten. Snijden de door hetzelfde punt gaande rechten   en   een rechte   in vier niet-samenvallende punten   en  , dan is de dubbelverhouding   gedefinieerd als

 

Alternatieve definitieBewerken

Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente rechten is

 

Harmonische vierstraalBewerken

Een vierstraal is een geordend viertal coplanaire, concurrente rechten. Een vierstraal   heet harmonisch dan en slechts dan, als  . De volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig:

  • De vierstraal   is harmonisch.
  • De dubbelverhouding  .
  • De lijnen   en   liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen   en  .
  • Lijn   is harmonisch toegevoegd aan lijn   ten opzichte van de lijnen   en  .

VoorbeeldenBewerken

  • Twee snijdende rechten   en   liggen harmonisch ten opzichte van de bissectrices   en   van de hoeken die ze met elkaar maken.
  • Twee diagonalen van een volledige vierhoek zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
  • De poollijn van een punt  , ten opzichte van de rechten   en   met snijpunt  , is de lijn die harmonisch is toegevoegd aan de lijn   ten opzichte van de lijnen   en  .

Dubbelverhouding op een kegelsnedeBewerken

 
dubbelverhouding op een kegelsnede

Verbindt men een veranderlijk punt van een niet ontaarde kegelsnede   met vier vaste punten van  , dan verkrijgt men een veranderlijke vierstraal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier punten op de kegelsnede en wordt de dubbelverhouding van die vier punten genoemd.

Snijdt men vier vaste raaklijnen aan een niet ontaarde kegelsnede   met een veranderlijke raaklijn aan  , dan verkrijgt men een puntenviertal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier vaste raaklijnen en wordt de dubbelverhouding van die vier raaklijnen genoemd.

Op de figuur zijn de rechten   en   vaste raaklijnen en de punten   en   vaste punten op de kegelsnede.

De dubbelverhouding   is onafhankelijk van de stand van het punt   op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding   ondubbelzinnig bepaald. Zo is ook   onafhankelijk van de stand van de veranderlijke raaklijn   en is de dubbelverhouding   van de vier vaste raaklijnen correct gedefinieerd.

Zie ookBewerken