Hoofdmenu openen

De dubbelverhouding van vier collineaire punten en is een begrip uit de meetkunde. Het wordt gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie.

Inhoud

DefinitieBewerken

De dubbelverhouding van de vier collineaire punten   en   in de euclidische ruimte, genoteerd als   of   is gedefinieerd als het quotiënt van de deelverhoudingen   en  

 

Met p, q, r en s de coördinaat van respectievelijk A, B, C en D op de rechte als getallenrechte wordt dit

 

De dubbelverhouding is positief als de deelpunten   en   ofwel allebei op het lijnstuk   ofwel allebei buiten het lijnstuk   liggen. Ligt een van de punten op het lijnstuk   en een erbuiten, dan is de dubbelverhouding negatief.

Verwisselt men   en   of   en  , dan verandert de dubbelverhouding in zijn omgekeerde, dus

 

Verwisselt men   en  , dan krijgt men

 

Vier punten op een lijn hebben dus zes verschillende waarden als dubbelverhouding, namelijk:

  en  

Bij vier punten op gelijkmatige afstand en in volgorde krijgen we bijvoorbeeld 4. De andere vijf waarden zijn dan 1/4, -3, -1/3, 3/4 en 4/3.

Harmonische liggingBewerken

Als de punten   en   het lijnstuk   respectievelijk inwendig en uitwendig in dezelfde verhouding verdelen, geldt voor de deelverhoudingen

 ,

dus voor de dubbelverhouding

 

Men zegt dat de vier punten in harmonische ligging zijn.

De volgende uitspraken zijn gelijkwaardig:

  • Het geordende viertal punten   is een harmonisch puntenviertal.
  • De dubbelverhouding  .
  • De punten   en   liggen harmonisch ten opzichte van de punten   en  
  • Het punt   is harmonisch toegevoegd aan het punt   ten opzichte van de punten   en  

VoorbeeldenBewerken

Van twee snijdende rechten   en   zijn   en   de bissectrices. De rechte   snijdt de vier rechten   en   in de overeenkomstige punten   en   De punten   en   zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van   en  

Een lijn door twee diagonaalpunten van een volledige vierhoek snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van de diagonaalpunten harmonisch liggen.

De binnen- en buitenbissectrice uit een hoekpunt van een driehoek snijden de overstaande zijlijn in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijlijn.

EigenschappenBewerken

 
(ABCD)=(A'B'C'D')=(abcd)

De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie, dus als ABCD en A'B'C'D' twee stellen collineaire punten zijn, en de lijnen AA', BB', CC' en DD' concurrent zijn, dan geldt  .

Dubbelverhouding van lijnenBewerken

Door de invariantie van dubbelverhouding onder centrale projectie, kan de dubbelverhouding ook gedefinieerd worden voor concurrente coplanaire rechten. Snijden de rechten a, b, c en d een rechte   in vier ongelijke punten A, B, C en D, dan is de dubbelverhouding (abcd) gedefinieerd als

 

Alternatieve definitieBewerken

Een alternatieve equivalente definitie voor de dubbelverhouding van vier concurrente rechten is

 

Harmonische vierstraalBewerken

Een vierstraal bestaat uit vier geördende coplanaire concurrente rechten. Een vierstraal a,b,c,d heet harmonisch als en slechts als (a,b,c,d) = -1. Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

  • De vierstraal (a,b,c,d) is harmonisch
  • De dubbelverhouding (a,b,c,d) = -1
  • De lijnen c en d liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen a en b.
  • Lijn d is harmonisch toegevoegd aan lijn c ten opzichte van de lijnen a en b.

Voorbeelden:

Twee snijdende rechten a, b liggen harmonisch ten opzichte van de bissectrices c, d van de hoeken die ze met elkaar maken.

Twee diagonalen van een volledige vierhoek zijn harmonisch toegevoegd ten opzichte van de zijden door hun snijpunt

De poollijn van een punt P, ten opzichte van de rechten a en b met snijpunt S, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn SP ten opzichte van de lijnen a en b.

Dubbelverhouding op een kegelsnedeBewerken

 
dubbelverhouding op een kegelsnede

Verbindt men een veranderlijk punt van een niet ontaarde kegelsnede K met vier vaste punten van K, dan verkrijgt men een veranderlijke vierstraal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier punten op de kegelsnede en wordt de dubbelverhouding van die vier punten genoemd.

Snijdt men vier vaste raaklijnen aan een niet ontaarde kegelsnede K met een veranderlijke raaklijn aan K, dan verkrijgt men een puntenviertal met constante dubbelverhouding. Die dubbelverhouding is enkel afhankelijk van de stand van de vier vaste raaklijnen en wordt de dubbelverhouding van die vier raaklijnen genoemd.

Op de figuur zijn de rechten a,b,c en d vaste raaklijnen en de punten K,L,M en N vaste punten op de kegelsnede.
De dubbelverhouding (k,l,m,n) is onafhankelijk van de stand van het punt P op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding (K,L,M,N) ondubbelzinnig bepaald. Zo is ook (A,B,C,D) onafhankelijk van de stand van de veranderlijke raaklijn s en is de dubbelverhouding (a,b,c,d) van de vier vaste raaklijnen correct gedefinieerd.

Zie ookBewerken