Hoofdmenu openen

Het hamiltonformalisme is een herformulering van de klassieke mechanica die in 1833 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton is opgesteld.

Het hamiltonformalisme is ontstaan uit de lagrangiaanse mechanica, een eerdere herformulering van de klassieke mechanica, die in 1788 werd geïntroduceerd door Joseph-Louis Lagrange. Doordat het hamiltonformalisme gebruikmaakt van symplectische ruimten kan het worden geformuleerd zonder een beroep te doen op de lagrangiaanse mechanica. Een belangrijk verschil tussen het hamiltonformalisme en de lagrangiaanse methode is dat voor een systeem met vrijheidsgraden de lagrangiaanse methode tweede-orde differentiaalrestricties formuleert op een -dimensionale coördinatenruimte, en het hamiltonformalisme eerste-orde restricties op een -dimensionale faseruimte[1]

Naast het theoretische belang voor de klassieke mechanica is het hamiltonformalisme van groot belang geweest bij de ontwikkeling van de kwantummechanica. Verder bestaat er ook zoiets als hamiltoniaanse optica, waarin gebruikgemaakt wordt van een analogie van driedimensionale banen van puntmassa's en de loop van lichtstralen in de geometrische optica.

De ten behoeve van dit formalisme gedefinieerde grootheid hamiltoniaan is in veel gevallen gelijk aan de totale energie , terwijl de lagrangiaan gelijk is aan (waarin de kinetische energie en de potentiële energie is). Het hamiltonformalisme heeft vooral zijn waarde bewezen in mechanismesystemen waarin expliciet onafhankelijk van de tijd is.

Afleiding uit het lagrangeformalismeBewerken

Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met   vrijheidsgraden wordt vastgelegd met een stel gegeneraliseerde coördinaten   die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden  , die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. (Tijdsafgeleiden van deze en andere natuurkundige grootheden worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool ervan aangegeven in plaats van de differentiaaloperator   als dat de overzichtelijkheid ten goede komt.)

Het gedrag van het systeem wordt beschreven door de euler-lagrange-vergelijkingen:

  (i)

Hierin is   de lagrangiaan van het systeem.

Nu wordt de hamiltoniaan of hamiltonfunctie ingevoerd, die de legendre-transformatie naar   is van de lagrangiaan. Dit is de eerste stap van een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's, wat ook de bedoeling is van het hamiltonformalisme:

 

Nu wordt voor elke gegeneraliseerde coördinaat   de bijbehorende gegeneraliseerde impuls geïntroduceerd:

  (ii)

De euler-lagrange-vergelijkingen kunnen zodoende herschreven worden als:

  (iii)

Gebruikmakend van de definitie van   (ii) wordt een eerste stap gezet naar de definitie van de hamiltoniaan die alleen afhankelijk is van   en  :

 ,

waaruit de afhankelijkheid van   nog weggewerkt moet worden.
Vervolgens wordt uitgegaan van de totale differentiaal van deze versie van de hamiltoniaan:

 

Daarin wordt de productregel toegepast op de term   en wordt de totale differentiaal voor   uitgeschreven:

 

Uit deze uitdrukking kunnen de differentiaal van en de afgeleide naar   weggewerkt worden door gebruik te maken van de definitie van   (ii) en van de herschreven versie van de euler-lagrange vergelijkingen (iii):

  (iv)

  is nu uitgedrukt in differentialen van  ,   en  . Omdat   opgevat mag worden als een functie van  , is   hiermee nu geheel afhankelijk van   en  .

Omdat de gegeneraliseerde plaats en impuls voor verschillende vrijheidsgraden i van elkaar onafhankelijk zijn, kunnen van de algemene definitie van de totale differentiaal van   als functie van   en  :

 

de coëfficiënten van de differentialen   en   voor elke vrijheidsgraad   afzonderlijk gelijkgesteld worden met die van de zojuist afgeleide uitdrukking (iv) voor  . Uit die gelijkstellingen volgen dan de vergelijkingen van Hamilton, ook wel de kanonieke bewegingsvergelijkingen genoemd:

 ;

en de tijdsafgeleide van   zelf is gelijk aan

 

In een conservatief systeem, waarin geen kinetische of potentiële energie verloren gaat aan wrijving, is

 

In dat geval zijn   en   bewegingsconstanten van het systeem. De ruimte die wordt beschreven met gegeneraliseerde plaatscoördinaten en impulscoördinaten wordt een faseruimte genoemd, die o.a. in de statistische mechanica een centrale rol speelt. De deelruimte met alleen impulscoördinaten, die alleen de bewegingstoestand van een systeem beschrijven, wordt impulsruimte genoemd.

GeneralisatieBewerken

De symplectische meetkunde bestudeert symplectische variëteiten, dit zijn al dan niet gekromde ruimten waarin de bewegingsvergelijkingen in de meetkundige structuur vervat liggen. De coördinaten in de omgeving van een punt van een dergelijke ruimte vormen een combinatie van de plaatscoördinaten   en de impulscoördinaten  .

LiteratuurBewerken

  • (en) Corben, H.C. and Philip Stehle (1994): Classical Mechanics, 2nd edition, Dover Publications, New York, Chapter 10.

VoetnotenBewerken

  1. (en) LaValle, Steven M., , Hamiltonian mechanics hfdst §13.4.4, Planning Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9, 2006.