Gebruiker:Patrick/kettingregel

Meer dan één veranderlijke

Stel dat $f=g\circ h$ de samenstelling is van de vectorwaardige functies $g$ en $h$ in meer dan één veranderlijke. Bijvoorbeeld

$h:D\subset \mathbb {R} ^{m}\to E\subset \mathbb {R} ^{n},\ g:E\to \mathbb {R} ^{p},\ f=g\circ h:D\to \mathbb {R} ^{p}$

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies $g$ en $h$ in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

$h'(x):\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},\ g'(h(x)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval $f$ ook differentieerbaar is in $x$, en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van $h$ en $g$

$f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)$

Als de betrokken lineaire afbeeldingen opgevat worden als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van $f'(x)$ gelijk aan het product van de matrices van $g'(h(x))$ en $h'(x)$. Uitdrukkelijk:

${\partial f_{i} \over \partial x_{k}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g_{i} \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x_{k}}\ (i=1,\ldots ,p;\ k=1,\ldots ,m)$

Bijvoorbeeld voor $p=1,m=1$:

${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}{\partial h_{j} \over \partial x}$

Met aanvullend $h_{j}(x)=x\ (j=1,\ldots ,n)$ geeft dit:

Als $f(x)=g(x,\ldots ,x)$ (met $n$ argumenten $x$) dan

${\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}x}}=\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}$