Gebruiker:Patrick/functietheorie

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen

Als de complexe functie $f$ differentieerbaar is in het punt $a+bi$ en we schrijven voor $f$:

$f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$,

geldt voor de afgeleide

$f'(a+bi)={\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}(a,b)+i{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}(a,b)={\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}(a,b)-i{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}(a,b)$.

De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van $u$ en $v$ in het punt $(a,b)$. In dat punt voldoet $f$ dus aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

${\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}$

${\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}=-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}$

Omgekeerd geldt dat een functie $f$ die op zijn gehele domein aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen voldoet en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, analytisch is.

Wirtinger afgeleide

$f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$,

dus

$f(z)=u({\frac {z+{\bar {z}}}{2}},{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}})+i\cdot v({\frac {z+{\bar {z}}}{2}},{\frac {z-{\bar {z}}}{2i}})$,

dus

$f(z)=g(z,{\bar {z}})$

met

$g(a,b)=u({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})+i\cdot v({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})$.

Om dit voor willekeurige complexe $a$ en $b$ te kunnen definiëren moeten overigens de functies $u$ en $v$ worden uitgebreid naar functies van twee complexe variabelen. Dit kan vaak op een voor de hand liggende manier waarbij de uitdrukking hetzelfde blijft en de differenteerbaarheid gehandhaafd blijft.

Voorbeelden:

• f(z)=Re z, u=x, v=0, g(a,b)=(a+b)/2
• f(z)=Im z, u=0, v=y, g(a,b)=(a-b)/2
• f(z)=z, u=x, v=y, g(a,b)=a
• f(z)=${\bar {z}}$, u=x, v=-y, g(a,b)=b

${\frac {\partial {g}}{\partial {b}}}(a,b)=u_{x}({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})-v_{y}({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})+i\cdot u_{y}({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})+i\cdot v_{x}({\frac {a+b}{2}},{\frac {a-b}{2i}})$.

De Cauchy-Riemann-vergelijkingen zijn equivalent met

${\frac {\partial {g}}{\partial {b}}}(a,b)=0$ voor a+b reëel en a-b zuiver imaginair,

dus met g(a,b) dan alleen afhankelijk van a.

Als de functies $u$ en $v$ bijvoorbeeld polynomen in x en y zijn, en zijn uitgebreid naar functies van twee complexe variabelen waarbij de uitdrukking hetzelfde is gebleven, is het al of niet afhankelijk zijn van b niet veranderd door de uitbreiding: als het uitgeschreven polynoom (d.i. zonder haakjes) termen met alleen een verschillende coëfficiënt samen heeft gevoegd (en uiteraard geen termen heeft met coëfficiënt nul) komt onafhankelijkheid van b overeen met het niet voorkomen van b. Hetzelfde geldt bij machtreeksen in x en/of y.

Als $f$ differentieerbaar is geldt

$f'(z)={\frac {\partial {g}}{\partial {a}}}(z,{\bar {z}})+{\frac {\partial {g}}{\partial {b}}}(z,{\bar {z}}){\frac {d{\bar {z}}}{dz}}$,

dus

$f'(z)={\frac {\partial {g}}{\partial {a}}}(z,{\bar {z}})$.

Zie ook

• Complexe functie
• Stelling van Looman-Menchoff
• en:Wirtinger_derivatives