Stelling van Looman-Menchoff

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, stelt de stelling van Looman–Menchoff, dat een continue complex-waardige functie, die op een open verzameling van het complexe vlak is gedefinieerd, holomorf is, dan en slechts dan als deze functie voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen. Het is een veralgemening van de stelling van Goursat. In plaats van de continuïteit van $f$ aan te nemen, neemt men de Fréchet-differentieerbaarheid van de functie aan, indien bekeken als een functie van een deelverzameling van $\mathbb {R} ^{2}$ naar $\mathbb {R} ^{2}$.

Een complete formulering van de stelling luidt:

Laat $\Omega$ een open verzameling in $\mathbb {C}$ zijn en $f:\Omega \to \mathbb {C}$ een continue functie. Neem aan dat de partiële afgeleides $\partial f/\partial x$ en $\partial f/\partial y$ overal in Ω bestaan. Dan is $f$ dan en slechts dan holomorf, als zij voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijking:

${\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$

Referenties

• (en) Looman, H, Über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen|journal, Göttinger Nach, 1923 pag 97–108.
• (fr) Menchoff, D, Les conditions de monogénéité, Paris, 1936.