Harmonische rij

(conceptversie 28 dec 2018)

Een oneindige getallenrij van positieve getallen heet in de wiskunde harmonisch als de termen de omgekeerden zijn van de termen van een rekenkundige rij^[1]^[2].

De meest bekende harmonische rij, DE harmonische rij ofwel de stambreukenrij, is de rij

1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{3}},\ {\frac {1}{4}},\ {\frac {1}{5}},\ \ldots \ \ =\ \left({\frac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }\

,

dus de rij $(t_{n})_{n=1}^{\infty }$ met algemene term $t_{n}={\tfrac {1}{n}}\$ .

De partiële sommen van deze rij, de getallen

1,~~~{\frac {3}{2}}(=1{+}{\tfrac {1}{2}}),~~~{\frac {11}{6}}(=1{+}{\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {1}{3}}),~~~{\frac {25}{12}}(=1{+}{\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {1}{3}}{+}{\tfrac {1}{4}}),~~~{\frac {137}{60}}(=1{+}{\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {1}{3}}{+}{\tfrac {1}{4}}{+}{\tfrac {1}{5}}),~~\ldots ~

,

vormen de rij der harmonische getallen.

Bij voldoende hoog rangnummer blijken deze getallen elke grens, hoe groot ook, te overschrijden. De rij der harmonische getallen is daarom divergent, en de rij $~1,\ {\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {1}{3}},\ {\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{5}},\ \ldots \$ niet sommeerbaar.

De naam 'harmonisch' is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de harmonische boventonen tot de grondtoon, die ontstaan door een snaar in delen onder te verdelen.

Eigenschappen

Formulevorm

Omdat een harmonische rij bestaat uit de omgekeerden van een rekenkundige rij, is elke harmonische rij te schrijven als

{\frac {1}{a+v}},\ {\frac {1}{a+2v}},\ {\frac {1}{a+3v}},\ {\frac {1}{a+4v}},\ \ldots \ ,\ {\frac {1}{a+nv}},\ \ldots

Met $a\geq 0,\ v>0~$ zijn er geen nul-noemers; voor $a=0,\,v=1$ is het DE harmonische rij.

Bepaald door eerste en tweede term

Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, geheel bepaald door de eerste twee termen^[3]:

t_{n}={\frac {1}{1/t_{1}+(n-1)\,(1/t_{2}-1/t_{1})}}~

.

Harmonisch gemiddelde

In elke harmonische rij is elke term (vanaf de tweede) het harmonisch gemiddelde is van zijn beide buren^[4].
In formule: $~~t_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{t_{n-1}}}+{\frac {1}{t_{n+1}}}}}~~$ ofwel $~~{\frac {1}{t_{n}}}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{n-1}}}+{\frac {1}{t_{n+1}}}\right)~$ .

Niet sommeerbaar

Elke harmonische rij is monotoon dalend en convergeert naar 0 (heeft 0 als limiet). Maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar, hetgeen analoog aan het navolgende te bewijzen is.

Het niet-sommeerbaar zijn van DE harmonische rij (H) kan worden aangetoond door vergelijking met een andere rij (K) waarvan de meeste termen kleiner zijn dan (soms gelijk aan, maar nooit groter dan) die op dezelfde plaats in rij H. Die vergelijkingsrij bevat (steeds langer wordende) rijtjes gelijke breuken, gelijk aan de eerstvolgende term van H waarvan de noemer (en het rangnummer) een macht van 2 is.

H: $\quad {\tfrac {1}{1}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\ \ {\tfrac {1}{3}}\ {\tfrac {1}{4}}\ \ {\tfrac {1}{5}}\ {\tfrac {1}{6}}\ {\tfrac {1}{7}}\ {\tfrac {1}{8}}\ \ \,{\tfrac {1}{9}}\ {\tfrac {1}{10}}\ {\tfrac {1}{11}}\ {\tfrac {1}{12}}\ {\tfrac {1}{13}}\ {\tfrac {1}{14}}\ {\tfrac {1}{15}}\ {\tfrac {1}{16}}\ \ {\tfrac {1}{17}}\ {\tfrac {1}{18}}\ {\tfrac {1}{19}}\ {\tfrac {1}{20}}\ {\tfrac {1}{21}}\ldots {\tfrac {1}{32}}\ \ {\tfrac {1}{33}}\ {\tfrac {1}{34}}\ldots$

K: $\quad {\tfrac {1}{1}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\ \ {\tfrac {1}{4}}\ {\tfrac {1}{4}}\ \ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{8}}\ {\tfrac {1}{8}}\ \,{\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ {\tfrac {1}{16}}\ \ {\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{32}}\ {\tfrac {1}{32}}\ldots {\tfrac {1}{32}}\ \ {\tfrac {1}{64}}\ {\tfrac {1}{64}}\ldots$

Elk groepje gelijknamige breuken in rij K heeft ${\tfrac {1}{2}}$ als som. Dat maakt dat de rij partiële sommen van K naar oneindig gaat, want die stijgende rij bevat (onder meer) als termen: $1,\ 1{\tfrac {1}{2}},\ 2,\ 2{\tfrac {1}{2}},\ 3,\ \ldots \$ De grótere partiële sommen van H zullen dus zeker ook naar oneindig gaan, en dus is H niet sommeerbaar.

Uitbreidingen

De woord 'harmonisch' komt ook voor in de aanduiding van rijen die niet voldoen aan de definitie in de eerste zin hierboven:

Alternerend harmonisch

De rij met als termen $1,-{\tfrac {1}{2}},\ {\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{4}},\ {\tfrac {1}{5}},\ \ldots$ wordt algemeen aangeduid als de alternerende harmonische rij; deze rij is wél sommeerbaar, met $\ln(2)$ als som.

Hyperharmonisch

Voor elke positieve exponent $p$ ongelijk 1 heet de rij $~1,{\tfrac {1}{2^{p}}},{\tfrac {1}{3^{p}}},{\tfrac {1}{4^{p}}},{\tfrac {1}{5^{p}}},\ \ldots ~$ hyperharmonisch; voor $p>1$ is de rij sommeerbaar.

Harmonische reeks

Met 'de harmonische reeks' kan bedoeld zijn:

de bij de harmonische rij behorende (divergente) reeks ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\ }$ ^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16],
DE (convergente) harmonische rij zelf (vroeger werd, en ook nu soms nog wel, 'reeks' als synoniem voor 'rij' gebruikt^[17]).

Zie ook

Harmonische boventoonreeks

Bronnen, noten en/of referenties

↑ Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence
↑ James and James, Mathematics dictionary, 1992, p196, onder harmonic sequence: "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."
↑ Dit is ook aan te tonen met de volgende redenering:
Omdat het verschil tussen de omgekeerden van twee opvolgende termen constant is, geldt voor een drietal $t_{n-1},\,t_{n},\,t_{n+1}$ :
${\frac {1}{t_{n+1}}}-{\frac {1}{t_{n}}}={\frac {1}{t_{n}}}-{\frac {1}{t_{n-1}}}$ ,
waaruit blijkt dat voor $n>1$ iedere term is vastgelegd door de twee voorgaande termen:
$t_{n+1}={\frac {1}{{\frac {2}{t_{n}}}-{\frac {1}{t_{n-1}}}}}$
Door het herhaald toepassen van deze recursie-formule is te zien dat elke term bepaald is door $t_{1}$ en $t_{2}$ .
↑ Encyclopedia of Mathematics
↑ H. von Mangoldt, K. Knopp, ibid. 11. Aufl. 1958 blz. 196: "Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \,\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ oder ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots \,}$ " .
↑ J.R. Britton, R.B. Kriegh, L.W. Rutland, Calculus and Analytic Geometry 1963, blz. 835: "An expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\ldots \,=\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ is called an infinite series" .
↑ W. Rudin, Principles of mathematical analysis 1965, blz. 51: "The symbol ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ we call an infinite series, or just a series".
↑ F. Bowman, F.A. Gerard, Higher calculus 1967, blz. 98: "An expression of the form ${\textstyle \ u_{0}{+}u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\ldots \,}$ is called an infinite series" .
↑ Sze-Tsen Hu, Calculus 1970, blz. 614: "For any sequence ${\textstyle \,u:N\to R\,}$ , the expression ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,=\,u_{1}{+}u_{2}{+}u_{3}{+}\cdots {+}u_{n}{+}\cdots \,}$ is known as the (infinite) series with ${\textstyle \,u_{1},u_{2},u_{3},\ldots \,}$ as terms.
↑ The Open University, U.K., Sequences and limits II 1971, blz. 38: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,}$ " .
↑ C. Blatter, Analysis I 1980, Kapitel 7: "Ist ${\textstyle (a_{k})}$ eine Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der Ausdruck ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ eine Reihe" .
↑ D.B. Small, J.M. Hosack, Calculus - An integrated approach 1990, blz. 569: "An infinite series or just series is an expression of the form ${\textstyle \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ or, using the summation notation, ${\textstyle \,\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\,}$ ".
↑ W. Walter, Analysis 1, 5. Aufl. 1999, blz. 86: "Wir nennen das Symbol ${\textstyle \,\sum _{n=p}^{\infty }a_{n}\,}$ oder $\,a_{p}{+}a_{p+1}{+}a_{p+3}{+}\ldots \,$ eine unendliche Reihe".
↑ G.B. Thomas Jr, Calculus - Eleventh edition 2005, blz. 763: "Given the sequence of numbers ${\textstyle \,\{a_{n}\}}$ , an expression of the form ${\textstyle \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ is an infinite series ".
↑ C.H. Edwards, D.E. Penney, Calculus - Early Transcendentals, 7th edition 2008, blz. 732: "An infinite series is an expression of the form ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,=\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \,}$ " .
↑ C. Caenepeel, J. De Beule, I. Goyvaerts, Wiskunde: Voortgezette Analyse (Vrije Universiteit Brussel) 2017, blz. 8: "Gegeven de numerieke rij ${\textstyle \,(u_{n})}$ . Een uitdrukking van de vorm ${\textstyle \,u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}\ldots \,}$ of, korter, ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\,}$ noemt men een numerieke reeks.
↑ Van Dale, Groot woordenboek der Nederlandse taal, 1995, p1107, onder harmonisch: "(wisk.) harmonische reeks, rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"