Gebruiker:Bob.v.R/Eigencirkel van een 2x2 matrix

De eigencirkel van een $2\times 2$ matrix is een wiskundig concept, gedefinieerd door Englefield & Farr in hun artikels 2006 en 2010.

Eigencirkels vereenvoudigen een geometrische interpretatie van lineaire transformaties. (p.281 Figure 1) In woorden uitgedrukt is een 'eigencirkel de verzameling van alle mogelijke verplaatsingen tussen de originele vectoren en hun beelden'.

Deze verplaatsing kan Cartesiaans $\left(\lambda ,\mu \right)$ worden gelezen als een verplaatsing, maar ook polair $\left(s,-\theta \right)$ als een schaling+draaiing.

Eigencirkels laten toe aspecten van lineaire transformaties te visualiseren en vereenvoudigen zo het afleiden van eigenschappen.

Dit artikel behandelt een aantal elementaire eigenschappen van eigencirkels.

De gerefereerde artikels bevatten nog meer afleidingen.

Eigenwaarden in het kort

Een eigenwaarde van een vierkante $2\times 2$ matrix $A$ is een getal $\lambda$ waarvoor geldt dat $A{\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}$ voor een vector ${\vec {x}}\neq \left[{\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}}\right]$.

Om de eigenwaarden $\lambda$ van een matrix $A$ te bepalen, dient een oplossing gevonden te worden voor de vergelijking $\det(A-\lambda I)=0$.

De verzameling eigenwaarden $EV$ kan worden geschreven als:

$EV=\left\{\lambda \ |\ \exists \left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]{\mbox{met}}\ \left[{\begin{matrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

Uitbreiden van het concept eigenwaarde

We breiden het concept eigenwaarde uit door te zoeken naar de elementen van de verzameling $EC$: (p.439 (2))

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists \left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]{\mbox{met}}\ \left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

Gebruikmakend van dit ruimere concept, kan voor elke $\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$ een $(\lambda ,\mu )$ worden gevonden zodat geldt: (p.439)

Stel $L_{\lambda \mu }=\left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]$

$L_{\lambda \mu }\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$

$\left(\lambda ,\mu \right)$ wordt een $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenpaar$ genoemd en $\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]$ is de corresponderende $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenvector$. (p.439)

De bestaansvoorwaarde $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenparen$ kan worden geschreven als: (p.440)

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists \left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]{\mbox{met}}\ \left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}\neq \varnothing$

Neem nu aan dat $A=\left[{\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right]$.

Dan geldt $\det \left(A-L_{\lambda \mu }\right)=\left|{\begin{matrix}a-\lambda &b-\mu \\c+\mu &d-\lambda \\\end{matrix}}\right|=0$

(1) . . . . en $\,\,\,\lambda ^{2}-\left(a+d\right)\lambda +\det {\left(A\right)}-\left(b-c\right)\mu +\mu ^{2}=0$

Gebruikmakend van onderstaande definities kan de vergelijking (1) worden vereenvoudigd: (p.440 (6)-(10))

$f={\frac {\left(a+d\right)}{2}}$

$g={\frac {\left(b-c\right)}{2}}$

$\rho ^{2}=f^{2}+g^{2}-\det {\left(A\right)}$

Uit deze definities volgt dat

$\rho ^{2}=\left({\frac {a-d}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {b+c}{2}}\right)^{2}$

En de vereenvoudigde uitdrukking voor (1) volgt hieronder: (p.440 (10))

$\left(\lambda -f\right)^{2}+\left(\mu -g\right)^{2}=\rho ^{2}$

Visualisatie

De verzameling $EC$ die alle $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenparen$ bevat, is een cirkel op het $\left(\lambda ,\mu \right)-vlak$ met centrum $C(f,g)$ en straal $\rho$. (p.440 (10))

Deze cirkel wordt de eigencirkel van $A$ genoemd.

Dit wordt voorgesteld in Figuur 1. (FIGURE 1)

Fig. 1: Elementaire eigenschappen van een eigencirkel

Fig. 2: Karakteristieke punten van een eigencirkel

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \exists \left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]{\mbox{met}}\left[{\begin{matrix}\lambda &+\mu \\-\mu &\lambda \\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]=A\left[{\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}}\right]\right\}$

$EC=\left\{\left(\lambda ,\mu \right)\ |\ \left(\lambda -f\right)^{2}+\left(\mu -g\right)^{2}-\rho ^{2}=0\right\}$

Elke eigencirkel bevat vier karakteristieke $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenparen$. Dit wordt getoond in Figuur 2. (p.282 Figure 1)

De constructie in Figuur 3 toont hoe de eigenvectoren van de matrix $A$ kunnen worden gelezen in de eigencirkel. (p.283 Figure 2)

Figuur 4 illustreert hoe het bestaan van een $\left(\lambda ,\mu \right)-eigenpaar$ $\left(\lambda _{1},\mu _{1}\right)$ kan worden geïnterpreteerd:

Indien $\left(\lambda _{1},\mu _{1}\right)_{cartesisch}=\left(s_{1},-\theta _{1}\right)_{polair}$ bestaat op de eigencirkel, dan moet er een vector ${\vec {x_{1}}}$ bestaan, met $\|{\vec {x_{1}}}\|=1$, zodat $\angle \left({\vec {x_{1}}},A{\vec {x_{1}}}\right)=\theta _{1}$ en $\|A{\vec {x_{1}}}\|=s_{1}$.

Fig. 3: Het lezen van de eigenvectoren op een eigencirkel

Fig. 4: Eigencirkel en rotatie en schaling van een vector