Exponentiële integraal

De exponentiële integraal is een functie, die gedefinieerd is als de integraal:

$\mathrm {E} _{1}(x)$ (boven)
$\mathrm {Ei} (x)$ (onder)

$\mathrm {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,{\rm {d}}t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,{\rm {d}}t~.$

Van een dergelijke integraal bestaat geen primitieve functie. Waarden van de functie $\mathrm {Ei} (x)$ zijn wel te vinden met reeksontwikkelingen, of in tabellen. Een goede benadering kan gevonden worden door:

$\mathrm {Ei} (x)\sim e^{-x}\cdot \ln(1+1/x)\cdot R(x)~,$

waarin $R(x)$ een rationale functie is met dezelfde graad in teller en noemer.

Reeksontwikkeling

De exponentiële integraal heeft $x\neq 0$ de reeksontwikkeling

$\mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}~,$

waarin $\gamma$ de constante van Euler-Mascheroni is.

Verband met de logaritmische integraal

De functie $\mathrm {Ei} (x)$ is nauw verwant met de logaritmische integraal. Voor $x>0$ is:

$\mathrm {li} (x)=\mathrm {Ei} (\ln x)~.$