Engel-expansie

De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal $x$ is de niet-dalende rij positieve gehele getallen $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ waarvoor

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ldots ={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)$

en

$1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$

De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.

Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening

Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.

Voor $0<x<1$ wordt $a_{1}$ bepaald door de eis dat:

${\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}$,

wat betekent dat:

$a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{x}}\right\rceil$

Het volgende getal $a_{2}$ volgt analoog uit de eis:

${\frac {1}{a_{2}}}\leq a_{1}x-1<{\frac {1}{a_{2}-1}}$

Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.

De engel-expansie van een gegeven getal $x$ kan men als volgt berekenen:

• Neem $u_{1}=x$;
• bereken iteratief voor $k=1,2,3,\ldots$

$a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil$ en

$u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1$

Hierin is $\left\lceil r\right\rceil$ de ceiling van $r$.

• Het algoritme eindgt als $u_{i}$ gelijk wordt aan 0.

Berekeningsvoorbeeld

De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

$u_{1}=1{,}3$

$a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}3}}\right\rceil =1$

$u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}3\cdot 1-1=0{,}3$

$a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}3}}\right\rceil =4$

$u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}3\cdot 4-1=0{,}2$

$a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}2}}\right\rceil =5$

$u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}2\cdot 5-1=0$

Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

$1{,}3={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 4\cdot 5}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}$

Engel-ontwikkeling voor rationale getallen

Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term $u_{i+1}$ als volgt. Als $u_{i}=a/b$, dan is $u_{i+1}=(-b{\bmod {a}})/b$. De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.

Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie

${\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{k}}}$

kan het laatst bepaalde getal $n$ in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen $n+1$.

Zo is bijvoorbeeld

$1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\ldots \}$

Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.

Voorbeelden

De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:

$\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\ldots \}$ - rij A006784 in OEIS

${\sqrt {2}}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\ldots \}$ - rij A028254 in OEIS

$e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\ldots \}$ - rij A000027 in OEIS

De engel-expansie van het getal $e$ is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

$e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\ldots \}$

Zie ook

• Pierce-expansie, analoog aan de engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
• Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.

Externe links

• Wolfram MathWorld: Engel expansion

Bronnen, noten en/of referenties