De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal x {\displaystyle x} in het interval ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen ( a 1 , a 2 , a 3 , … ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )} waarvoor geldt:
x = 1 a 1 − 1 a 1 a 2 + 1 a 1 a 2 a 3 − … {\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\ldots } met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska , die ze in 1929 formuleerde.[1]
Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.
Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.
Als de expansie wordt afgebroken bij de n {\displaystyle n} -de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de n {\displaystyle n} -de term.
De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal x . {\displaystyle x.}
De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme :[2]
Stel u 0 = x {\displaystyle u_{0}=x}
Bereken voor k = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle k=1,2,3,\ldots } :
a k = ⌊ 1 u k − 1 ⌋ {\displaystyle a_{k}=\left\lfloor {\frac {1}{u_{k-1}}}\right\rfloor }
u k = 1 − a k u k − 1 {\displaystyle u_{k}=1-a_{k}u_{k-1}}
Stop zodra u k = 0 {\displaystyle u_{k}=0} Daarrin is ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } de entier van a {\displaystyle a} .
De Pierce-expansie van 0 , 37 {\displaystyle 0{,}37} geeft achtereenvolgens:
u 0 = 0 , 37 {\displaystyle u_{0}=0{,}37}
a 1 = ⌊ 1 0 , 37 ⌋ = 2 {\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}37}}\right\rfloor =2}
u 1 = 1 − a 1 u 0 = 1 − 2 ⋅ 0 , 37 = 0 , 26 {\displaystyle u_{1}=1-a_{1}u_{0}=1-2\cdot 0,37=0{,}26}
a 2 = ⌊ 1 0 , 26 ⌋ = 3 {\displaystyle a_{2}=\left\lfloor {\frac {1}{0,26}}\right\rfloor =3}
u 2 = 1 − a 2 u 1 = 1 − 3 ⋅ 0 , 26 = 0 , 22 {\displaystyle u_{2}=1-a_{2}u_{1}=1-3\cdot {0{,}26}=0{,}22}
a 3 = ⌊ 1 0 , 22 ⌋ = 4 {\displaystyle a_{3}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}22}}\right\rfloor =4}
u 3 = 1 − a 3 u 2 = 1 − 4 ⋅ 0 , 22 = 0 , 12 {\displaystyle u_{3}=1-a_{3}u_{2}=1-4\cdot {0{,}22}=0{,}12}
a 4 = ⌊ 1 0 , 12 ⌋ = 8 {\displaystyle a_{4}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}12}}\right\rfloor =8}
u 4 = 1 − a 4 u 3 = 1 − 8 ⋅ 0 , 12 = 0 , 04 {\displaystyle u_{4}=1-a_{4}u_{3}=1-8\cdot {0{,}12}=0{,}04}
a 5 = ⌊ 1 0 , 04 ⌋ = 25 {\displaystyle a_{5}=\left\lfloor {\frac {1}{0{,}04}}\right\rfloor =25}
u 5 = 1 − a 5 u 4 = 1 − 25 ⋅ 0 , 04 = 0 {\displaystyle u_{5}=1-a_{5}u_{4}=1-25\cdot {0{,}04}=0} De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:
0 , 37 = 1 2 − 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 − 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 8 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ 25 = 1 2 − 1 6 + 1 24 − 1 192 + 1 4800 {\displaystyle 0{,}37={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}-{\frac {1}{192}}+{\frac {1}{4800}}}
1 π = ( 3 , 22 , 118 , 383 , 571 , 635 , 70529 , 375687 , 399380 , 575584 , … ) {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )} - rij A006283 in OEIS 1 2 = ( 1 , 3 , 8 , 33 , 35 , 39201 , 39203 , 60245508192801 , 60245508192803 , 218662352649181293830957829984632156775201 , … ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )} - rij A091831 in OEIS ln ( 2 ) = ( 1 , 3 , 12 , 21 , 51 , 57 , 73 , 85 , 96 , 1388 , … ) {\displaystyle \ln(2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )} - rij A091846 in OEIS 1 e = ( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , … ) {\displaystyle {\frac {1}{e}}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )} - rij A020725 in OEIS De Pierce-expansie van 1 / e {\displaystyle 1/e} is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van
1 − e − 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , … ) {\displaystyle 1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\ldots )} - de natuurlijke getallen.Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel .
Lengte van de Pierce-expansie
bewerken
Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal b / a , met ( b < a ) {\displaystyle b/a,{\text{ met }}(b<a)} is de lengte van de expansie, genoteerd als P ( a , b ) {\displaystyle P(a,b)} . P ( a ) {\displaystyle P(a)} is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen b / a {\displaystyle b/a} met b = 1 , … , a {\displaystyle b=1,\ldots ,a} :[3]
P ( a ) = max { P ( a , b ) ∣ 1 ≤ b ≤ a } {\displaystyle P(a)=\max\{P(a,b)\mid 1\leq b\leq a\}} Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies , in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor P ( a ) {\displaystyle P(a)} .
Shallit[2] bewees dat 2 a {\displaystyle 2{\sqrt {a}}} een bovengrens is van P ( a ) {\displaystyle P(a)} .
Paul Erdős en Shallit[4] gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie :
P ( a ) = O ( a 1 3 + δ ) {\displaystyle P(a)=O(a^{{\frac {1}{3}}+\delta })} waarin δ {\displaystyle \delta } een willekeurig klein positief reëel getal is.
Vlado Kešelj[3] leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:
P ( a ) = O ( ( a ⋅ log ( a ) ) 1 3 ) {\displaystyle P(a)=O((a\cdot \log(a))^{\frac {1}{3}})} Voor de asymptotische ondergrens van P ( a ) {\displaystyle P(a)} vond hij:
P ( a ) = O ( log ( a ) log ( log ( a ) ) ) {\displaystyle P(a)=O\left({\frac {\log(a)}{\log(\log(a))}}\right)} Hierin is log {\displaystyle \log } de natuurlijke logaritme . Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote a {\displaystyle a} nog steeds een ruime overschatting is.
Engel-expansie , analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.
Bronnen, noten en/of referenties
↑ Pierce, T. A. "On an Algorithm and Its Use in Approximating Roots of Polynomials." Amer. Math. Monthly 1929, vol. 36, blz. 523-525.
↑ a b J. O. Shallit , "Metric theory of Pierce expansions." Fibonacci Quarterly , februari 1986, vol. 24 nr. 1, blz. 22-40
↑ a b Vlado Keselj , "Length of Finite Pierce Series: Theoretical Analysis and Numerical Computations". Report CS-96-21, University of Waterloo, 10 september 1996
↑ P. Erdös, J.O. Shallit. "New bounds on the length of finite Pierce and Engel series." Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 1991, vol. 3 nr. 1, blz. 43-53. DOI :10.5802/jtnb.41