Een groot voordeel van BCH-codes is dat ze worden gedecodeerd door middel van een algebraïsche methode die bekendstaat als syndroom decoderen. Hierdoor kan de benodigde elektronische hardware eenvoudig zijn, en is het energieverbruik beperkt. Daarnaast zijn ze als een klasse codes flexibel, met instelbaarheid van bloklengte en inzetbaarheid bij in de praktijk voorkomende bitfoutkansen. Dus bij een specificatie kan een code worden ontworpen (vanzelfsprekend wel binnen de wiskundige grenzen).
Technisch uitgedrukt is een BCH-code een multiniveau, cyclische, fout-corrigerende, variabele lengte digitale code, die gebruikt wordt voor het corrigeren van foutpatronen met meer dan één bitfout per blok. BCH-codes kunnen ook worden gebruikt met multiniveau phase-shift keying, mits het aantal niveaus een priemgetal is, of een macht van een priemgetal. Een BCH-code met 11 niveaus is gebruikt voor het representeren van 10 decimale digits plus een teken.
Volgens de theorie bestaat er een primitieve wortel met een minimale polynoom van graad die voldoet aan:
De bijbehorende minimale polynoom over is:
In geldt , zodat:
Dus is een wortel van , en blijkbaar is:
De minimale polynoom van is ook van de graad 4:
Nu is:
,
dus
,
zodat
Het blijkt dat
De minimale polynoom van is de polynoom
.
Op vergelijkbare wijze vindt men:
Deze polynomen zijn juist de vier irreducibele polynomen.
De BCH-code met heeft als genererende polynoom
De minimale hammingafstand is minstens 3 en hij corrigeert 1 bitfout. Omdat de genererende polynoom van de graad 4 is, heeft deze code 11 data-bits en 4 checkbits.
De BCH-code met heeft als genererende polynoom
De minimale hammingafstand is minstens 5 en de code corrigeert 2 bitfouten. Omdat het genererende polynoom de graad 8 heeft, bevat deze code 7 data-bits en 8 checkbits.
De BCH-code met heeft als genererende polynoom
De minimale hammingafstand is minstens 7 en de code corrigeert 3 bitfouten. Deze code heeft 5 data-bits en 10 checkbits.
De BCH-code met en hoger heeft als genererende polynoom
Deze code heeft minstens hammingafstand 15 en corrigeert 7 bitfouten. De code heeft 1 data-bit en 14 checkbits. Feitelijk bestaat deze code uit de volgende twee codewoorden: 000000000000000 and 111111111111111.
Algemene BCH-codes wijken op twee punten af van de hierboven behandelde eenvoudige BCH-codes. Ten eerste is de eis dat vervangen door een meer algemene eis. Ten tweede is het zo dat de opeenvolgende wortels van de generatorpolynoom niet bij hoeven te beginnen; voldoende is dus als de rij eruitziet als volgt: (in plaats van ).
Definitie
Neem een eindig lichaam, waarbij een macht is van een priemgetal. Kies positieve gehele getallen zodat , , en is de multiplicatieve orde van modulo (dat wil zeggen is de kleinste macht met de eigenschap dat modulo ).
Zoals hierboven is een primitieve -de machts eenheidswortel in , en is (voor alle i) de minimale polynoom over van . De generatorpolynoom van de BCH-code is nu gedefinieerd als het kleinste gemeenschappelijke veelvoud.
NB
Als , zoals in het eenvoudige geval, is gelijk aan 1, en is de orde van automatisch gelijk aan . De 'eenvoudige' BCH-code is dus inderdaad een specifiek voorbeeld binnen de algemene BCH-codes.
1. De generatorpolynoom van een BCH-code heeft als graad ten hoogste . En als en , dan is de graad van de generatorpolynoom ten hoogste .
Bewijs: elke minimale polynoom heeft als graad ten hoogste . Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van minimale polynomen heeft dus ten hoogste de graad . En als , is voor alle . Dus is het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van ten hoogste minimale polynomen voor oneven indices , die elk ten hoogste de graad hebben.
2. Een BCH-code heeft als minimale hammingafstand ten minste . Bewijs in het eenvoudige geval (het bewijs voor het algemene geval is vergelijkbaar). Neem aan dat een codewoord is met minder dan digits ongelijk aan nul. Dan is
We wisten dat wortels zijn van , en dus ook van . Hieruit volgt dat aan de volgende vergelijkingen voldoen voor :
Dit delen we nu door , en we definiëren , om als resultaat te verkrijgen
hetgeen ongelijk aan nul is. Hieruit volgt dat , en dus .
3. Een BCH-code is cyclisch.
Bewijs: een polynoomcode met bloklengte is dan en slechts dan cyclisch als zijn generatorpolynoom een deler is van . Omdat de minimale polynoom is met wortels , behoeft slechts te worden gecontroleerd dat alle wortel zijn van . Echter, dit volgt direct uit het feit dat per definitie een de machts eenheidswortel is.