Bézierkromme

(Doorverwezen vanaf Bezierkromme)
Een Bézierkromme met graad 3 (vier punten)

Een Bézierkromme (of Béziercurve) is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Paul de Casteljau. In hogere dimensies bestaan ook Bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.

GeschiedenisBewerken

Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie (Renault) gebruikte.

DefinitieBewerken

De Béziercurve van graad   bepaald door de   punten   in de  , is de parametrische kromme gegeven door:

 

Daarin zijn   zgn. bernsteinpolynomen, gedefinieerd als:

 


VoorbeeldenBewerken

 
Lineaire Bézierkromme
 
Kwadratische Bézierkromme
 
Derdegraads Bézierkromme
 
Vierdegraads Bézierkromme

Lineaire BézierkrommeBewerken

De Bézierkromme van de graad 1, bepaald door de twee punten   en   is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

 

Kwadratische BézierkrommeBewerken

De Bézierkromme van de graad 2, bepaald door de drie punten   en   is de curve:

 .

De kromme ligt in het vlak door de gegeven 3 punten. Uitgedrukt in coödinaten in dit vlak zijn de punten:

 

en wordt de kromme gegeven door de vergelijking

 
 
 
 
 
 

Ook in drie dimensies ligt kromme in het vlak door de gegeven 3 punten, die dan elk gegeven zijn door   Ook nu kunnen vergelijkingen voor de kromme opgesteld worden, die weliswaar niet gecompliceerd zijn, maar nogal wijdlopig.

Derdegraads BézierkrommeBewerken

De Bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) P0, P1, P2 en P3, is:

 .

ToepassingenBewerken

Derdegraads Bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt P0 met het eindpunt P3 en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten P1 en P2 zo aangepast worden dat de gewenste begin- en eindrichting verkregen wordt, en de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

  • voor afbeeldingen, om gladde krommen te tekenen;
  • voor lettertypes: TrueType-lettertypes gebruiken eenvoudige kwadratische Bézierkrommes
  • voor digitale animatie (CGI), om een zo natuurlijk mogelijke beweging te simuleren.
  Zie de categorie Bezier Curves van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.