Welgefundeerde relatie

In de wiskunde heet een irreflexieve tweeplaatsige relatie op een klasse welgefundeerd, als elke niet-lege deelverzameling van een element bevat dat geen voorganger heeft, wat in dit verband betekent dat er geen element is waarvoor het paar tot de relatie behoort. Het is dus niet mogelijk dat er een hele keten van elementen is waarvan elk een voorganger heeft, die dus oneindig doorloopt.

DefinitieBewerken

Een tweeplaatsige relatie  , die irreflexief is, heet welgefundeerd, als voor alle   er een   bestaat zodanig, dat voor alle  

 

Men kan bewijzen, zij het onder de veronderstelling dat het keuzeaxioma geldt, dat de relatie   dan en slechts dan welgefundeerd is, als er geen oneindig dalende keten is, anders gezegd als er in   geen keten   is met   voor elke natuurlijke  

Partiële ordeBewerken

Een partiële orde is reflexief en volgens de definitie daarom niet welgefundeerd. Als echter de bijbehorende strikte partiële orde welgefundeerd is, wordt aanvullend de partiële orde zelf ook als welgefundeerd beschouwd.

VoorbeeldenBewerken

  • De relatie "voorganger"   op de natuurlijke getallen, gedefinieerd als   is welgefundeerd. Iedere niet-lege deelverzameling van natuurlijke getallen heeft immers een kleinste element, dat dus geen voorganger heeft.
  • Om dezelfde reden is de relatie "kleiner dan"   op natuurlijke getallen welgefundeerd.
  • De relatie "kleiner dan" op positieve reële getallen is niet welgefundeerd. Neem het open interval  , dat alle reële getallen tussen   en   bevat, maar   en   zelf niet. Aangezien voor elk reële getal   een reëel getal tussen   en   bestaat, heeft deze verzameling   geen element zonder voorganger. Inderdaad bevatten de positieve reële getallen oneindig dalende ketens, bijvoorbeeld:  .