Welgefundeerde relatie

In de wiskunde heet een irreflexieve tweeplaatsige relatie op een klasse welgefundeerd, als elke niet-lege deelverzameling van een element bevat dat geen voorganger heeft, wat in dit verband betekent dat er geen element is waarvoor het paar tot de relatie behoort. Het is dus niet mogelijk dat er een hele keten van elementen is waarvan elk een voorganger heeft, en die dus oneindig doorloopt.

DefinitieBewerken

De irreflexieve tweeplaatsige relatie   heet welgefundeerd, als voor alle   er een   bestaat zodanig, dat voor alle  

 

Sommige auteurs nemen de extra voorwaarde op dat   verzamelingachtig moet zijn, dat wil zeggen dat de elementen kleiner dan een gegeven element een verzameling vormen.

Men kan bewijzen, zij het onder de veronderstelling dat het keuzeaxioma geldt, dat de relatie   dan en slechts dan welgefundeerd is, als er geen oneindig aflopende ("dalende") keten is, d.w.z. dat er in   geen keten   is met   voor elke natuurlijke  

Partiële ordeBewerken

Een relatie die niet irreflexief is, is volgens bovenstaande definitie niet welgefundeerd. Een partiële orde is refelexief en kan daarom volgens de definitie niet welgefundeerd zijn, Als echter de bijbehorende strikte partiële orde welgefundeerd is, wordt aanvullend de partiële orde zelf ook als welgefundeerd beschouwd.

VoorbeeldBewerken

De relatie "voorganger" ( ) op de natuurlijke getallen, gedefinieerd als   is welgefundeerd. Iedere niet-lege deelverzameling van natuurlijke getallen heeft immers een kleinste element, dat dus geen voorganger heeft.