Vermoeden van Mertens

In de wiskunde is het vermoeden van Mertens een bewering over het asymptotisch gedrag van de mertensfunctie. Het vermoeden is genoemd naar Franz Mertens, die in 1897 zijn vermoeden uitsprak. In 1985 werd dit vermoeden echter weerlegd. Als het vermoeden van Mertens waar zou zijn geweest, zou daarmee ook de riemann-hypothese zijn bewezen.

DefinitieBewerken

In de getaltheorie is de mertensfunctie gedefinieerd als

 

waarin μ(k) de möbiusfunctie is. Het vermoeden van Mertens luidt dat voor alle   geldt dat

 

WeerleggingBewerken

In 1985 weerlegden Andrew Odlyzko en Herman te Riele het vermoeden van Mertens. Later werd aangetoond dat het kleinste argument voor een tegenvoorbeeld kleiner moet zijn dan   (Pintz 1987), maar groter dan   (Kotnik en Van de Lune 2004). De bovengrens is inmiddels verlaagd tot   (Kotnik en Te Riele 2006), maar er is nog geen expliciet tegenvoorbeeld bekend.

Stieltjes beweerde in 1885 een zwakker resultaat te hebben bewezen, namelijk dat   begrensd was, maar hij publiceerde dit bewijs niet. Hoewel de begrensdheidsclaim van Stieltjes in het artikel uit 1985 nog als "zeer onwaarschijnlijk" werd betiteld, is deze hypothese nog niet weerlegd.

Als de möbiusfunctie   wordt vervangen door een willekeurige rij van 1'en en −1'en, volgt uit de wet van de iteratieve logaritmen dat de orde van groei van de partiële sommen van de eerste   termen (met kans 1) ongeveer gelijk is aan  , hetgeen suggereert dat de orde van de toename van   ergens rond   zou kunnen liggen. De werkelijke orde van groei zou iets kleiner kunnen zijn, zoals vermoedt door Steve Gonek in de vroege jaren 1990, namelijk  . Dit werd in 2004 gedeeld door Ng, gebaseerd op een heuristisch argument.

Verband met de riemann-hypotheseBewerken

Het verband met de riemann-hypothese is gebaseerd op de dirichletreeks voor de reciproke van de riemann-zèta-functie:

 ,

die geldig is in het gebied  .

Dit kan herschreven worden als een Stieltjes-integraal

 ,

waaruit na partiële integratie de reciproke van de zètafunctie ontstaat als een mellin-transformatie

 

Terugtransformeren geeft   uitgedrukt in termen van  

 

geldig voor  , en voor   onder de riemann-hypothese.

Hieruit volgt dat de mellin-transformatieintegraal moet convergeren, en dat   van de orde   moet zijn voor elke exponent  .

Dit impliceert dat

 

voor elke   equivalent is aan de riemann-hypothese, die daarom een gevolg zou zijn van het sterkere vermoeden van Mertens. Ook volgt uit de hypothese van Stieltjes dat

 

ReferentiesBewerken