Vergelijking van Ramanujan-Nagell

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de vergelijking van Ramanujan-Nagell een bijzondere exponentiële diofantische vergelijking.

Vergelijking en oplossing

Voor de vergelijking

$2^{n}-7=x^{2}$

bestaan oplossingen in de natuurlijke getallen $n$ en $x$ alleen voor $n$ = 3, 4, 5, 7 en 15.

De vergelijking werd in 1913 als een vermoeden geponeerd door de Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan (1887-1920) en in 1943 onafhankelijk voorgesteld door de Noorse wiskundige Wilhelm Ljunggren (1905-1973). Kort daarna werd het vermoeden bewezen door de Noorse wiskundige Trygve Nagell (1895-1988). De waarden op $n$ corresponderen met de waarden van $x$ als:

$x$ = 1, 3, 5, 11 en 181

Driehoekige mersennegetallen

De vergelijking van Ramanujan-Nagell is equivalent met het vinden van alle getallen van de vorm $2^{b}-1$ (mersennegetallen) die driehoekig zijn. De mogelijke waarden van $b$ zijn precies die van de getallen $n-3$ in de oplossing van de vergelijking van Ramanujan-Nagell, zodat de enige driehoekige mersennegetallen 0, 1, 3, 15 en 4095 zijn (rij A076046 in OEIS).

Externe links

• (en) Ramanujans Square Equation op MathWorld

Bronnen, noten en/of referenties

• (en) S. Ramanujan (1913). Question 464. J. Indian Math. Soc. 5: 130.
• (no) W. Ljunggren (1943). Oppgave nr 2. Norsk Mat. Tidskr. 25: 29.
• (no) T. Nagell (1948). Løsning till oppgave nr 2. Norsk Mat. Tidskr. 30: 62–64.
• (en) T. Nagell (1961). The Diophantine equation x²+7=2ⁿ. Ark. Mat. 30: 185–187. DOI: 10.1007/BF02592006.
• (en) T.N. Shorey, R. Tijdeman (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge University Press, 137–138. ISBN 0-521-26826-5.
• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Ramanujan–Nagell equation op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

---