Symmetriegroep van de kubus

De kubus heeft octahedrale symmetrie (volledige versie en chirale versie ). De kubus is 48-voudig symmetrisch: er zijn 48 verschillende operaties op een kubus waaronder de kubus onveranderd blijft. Een kubus die op een bepaalde manier is beschilderd kan behalve 48-voudig symmetrisch ook a-symmetrisch zijn of een beperkte symmetrie hebben. Die symmetrie is dan een van de ondergroepen van de symmetriegroep van de kubus.

Symmetriesoort r432: Volledig rotatiesymmetrisch (24-voudig)

InleidingBewerken

Een kubus is meervoudig symmetrisch omdat er meerdere isometrieën (in dit geval rotaties en spiegelingen) zijn waarna de kubus er precies hetzelfde uitziet: de originele kubus en de beeldkubus zijn niet van elkaar te onderscheiden. Die transformaties zijn de symmetrieën van een kubus. De verzameling van al deze transformaties is de symmetriegroep van de kubus:  .   bestaat uit 48 verschillende symmetrische transformaties.

De symmetrische operaties op een kubusBewerken

De 48 symmetrische operaties op de Kubus
naam type orde beschrijving
e ident 1 identiteit
rx R4as 4 rotatie om x=(1,0,0) over 90°
rx3 R4as 4 rotatie om x=(1,0,0) over 270°
ry R4as 4 rotatie om y=(0,1,0) over 90°
ry3 R4as 4 rotatie om y=(0,1,0) over 270°
rz R4as 4 rotatie om z=(0,0,1) over 90°
rz3 R4as 4 rotatie om z=(0,0,1) over 270°
rx2 R2as 2 rotatie om x=(1,0,0) over 180°
ry2 R2as 2 rotatie om y=(0,1,0) over 180°
rz2 R2as 2 rotatie om z=(0,0,1) over 180°
rxy R2diag 2 rotatie om xy=(1,1,0) over 180°
rxY R2diag 2 rotatie om xY=(1,-1,0) over 180°
rxz R2diag 2 rotatie om xz=(1,0,1) over 180°
rxZ R2diag 2 rotatie om xZ=(1,0,-1) over 180°
ryz R2diag 2 rotatie om yz=(0,1,1) over 180°
ryZ R2diag 2 rotatie om yZ=(0,1,-1) over 180°
rxyz R3lich 3 rotatie om xyz=(1,1,1) over 120°
rxyz2 R3lich 3 rotatie om xyz=(1,1,1) over 240°
rxYz R3lich 3 rotatie om xYz=(1,-1,1) over 120°
rxYz2 R3lich 3 rotatie om xYz=(1,-1,1) over 240°
rxyZ R3lich 3 rotatie om xyZ=(1,1,-1) over 120°
rxyZ2 R3lich 3 rotatie om xyZ=(1,1,-1) over 240°
rxYZ R3lich 3 rotatie om xYZ=(1,-1,-1) over 120°
rxYZ2 R3lich 3 rotatie om xYZ=(1,-1,-1) over 240°
sx Sas 2 vlakspiegeling, normaal=x=(1,0,0)
sy Sas 2 vlakspiegeling, normaal=y=(0,1,0)
sz Sas 2 vlakspiegeling, normaal=z=(0,0,1)
sxy Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=xy=(1,1,0)
sxY Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=xY=(1,-1,0)
sxz Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=xz=(1,0,1)
sxZ Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=xZ=(1,0,-1)
syz Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=yz=(0,1,1)
syZ Sdiag 2 vlakspiegeling, normaal=yZ=(0,1,-1)
sO Spunt 2 puntspiegeling, geen spiegelvlak
rsx RS4as 4 rx*sx
rsx3 RS4as 4 rx3*sx
rsy RS4as 4 ry*sy
rsy3 RS4as 4 ry3*sy
rsz RS4as 4 rz*sz
rsz3 RS4as 4 rz3*sz
rsxyz RS6lich 6 rxyz*sxyz
rsxyz2 RS6lich 6 rxyz2*sxyz
rsxYz RS6lich 6 rxYz*sxYz
rsxYz2 RS6lich 6 rxYz2*sxYz
rsxyZ RS6lich 6 rxyZ*sxyZ
rsxyZ2 RS6lich 6 rxyZ2*sxyZ
rsxYZ RS6lich 6 rxYZ*sxYZ
rsxYZ2 RS6lich 6 rxYZ2*sxYZ

Operatie typeBewerken

De symmetrische operaties van   zijn naast rotaties en spiegelingen draaispiegelingen. Een draaispiegeling is een vlakspiegeling gevolgd door een rotatie om de normaal op het spiegelvlak.[1] Deze normaal kan een coördinaatas (3, type RS4as) of een lichaamsdiagonaal (4, type RS6lich) zijn. De kubus is niet spiegelsymmetrisch t.o.v. een vlak loodrecht op een lichaamsdiagonaal, dus de gewone spiegelsymmetrieën hebben als normaal op het spiegelvlak of een coördinaatas (type Sas) of een diagonaal (type Sdiag). De rotatiesymmetrieën van de kubus zijn om alle coördinaatassen (3, type R2as en R4as), diagonalen (6, type R2diag) en lichaamsdiagonalen (4, type R3lich). De spiegeling t.o.v. het middelpunt van de kubus (type Spunt) heeft geen spiegelvlak. Tenslotte is er nog de identiteit (type ident), de triviale operatie die niets doet.

OndergroepenBewerken

De symmetriegroep   is niet zo maar een willekeurige verzameling transformaties. Als de kubus niet verandert door transformatie t1 en ook niet door transformatie t2, dan is duidelijk dat ook het uitvoeren van zowel t1 als t2 de kubus ongewijzigd zal laten: de transformaties t1*t2 en t2*t1 behoren ook tot de verzameling. De verzameling vormt een wiskundige groep,  : de symmetriegroep van de kubus.

Als we een kubus beschilderen (of op een andere manier markeringen aanbrengen), dan is die kubus daarna mogelijk minder symmetrisch. Dat kan variëren van asymmetrisch tot nog steeds volledig symmetrisch overeenkomstig de blanco kubus. Maar de verzameling symmetrieoperaties is ook na beschildering een wiskundige groep. Deze symmetriegroep van een beschilderde kubus is een ondergroep van  .   heeft 97 ondergroepen.

De symmetriesoorten van een kubusBewerken

De 97 ondergroepen van   zijn verdeeld over 32 klassen van geconjugeerde ondergroepen, inclusief de triviale ondergroep met alleen de identiteit. De ondergroepen in een klasse zijn verwisselbaar middels conjugatie. Ondergroepen die tot verschillende klassen behoren kunnen niet worden verwisseld. Deze klassen van geconjugeerde ondergroepen zijn disjunct. Samen met   zelf vormen deze 32 klassen de 33 symmetriesoorten van de kubus.

Dit betekent dat als we een kubus beschilderen die kubus een van deze 33 symmetriesoorten heeft. Een symmetriesoort met meerdere ondergroepen in de conjugatieklasse heeft daarmee verschillende beschilderingen van de kubus die in essentie dezelfde symmetrie zijn.

De orde van een symmetriesoortBewerken

Elke ondergroep in een symmetriesoort heeft hetzelfde aantal symmetrische operaties. De orde   van de symmetriesoort is het aantal operaties in elke ondergroep.

Tabel van de symmetriesoortenBewerken

De 33 symmetriesoorten van de Kubus
code orde #OGn OG(vb) Beschrijving
r1Asym 1 1 <e> Asymmetrisch
r22As 2 3 <rx2> Rotatie om een (coördinaat)as over 180°
r44As 4 3 <rx> Rotatie om een (coördinaat)as over 90°
r22Diag 2 6 <rxy> Rotatie om een diagonaal
r33Lich 3 4 <rxyz> Rotatie om een lichaamsdiagonaal
r222As 4 1 <rx2,ry2> Rotatie om alle coördinaatassen over 180°
r222DiagAs 4 3 <rxy,rxY> Rotatie om twee (overeenkomstige) diagonalen
r332LichAs 12 1 <rxyz,rxYZ> Rotatie om alle lichaamsdiagonalen
r422AsDiag 8 3 <rx,ry2> Rotaties om alle coördinaatassen
r322LichDiag 6 4 <rxy,rxz> Rotatie om twee diagonalen
r432Alle 24 1 <rx,ry> Volledig rotatiesymmetrisch
s11As 2 3 <sx> Spiegeling t.o.v. een (coördinaat)as
s11Diag 2 6 <sxy> Spiegeling t.o.v. een diagonaal
s22As 4 3 <sx,sy> Spiegeling tov 2 coördinaatassen
s44As 8 3 <sx,sxy> Alle spiegelingen 1 coördinaatas
s22Diag 4 3 <sxy,sxY> Spiegeling tov 2 (overeenkomstige) diagonalen
s33Lich 6 4 <sxY,sxZ> Alle spiegelingen rond een lichaamsdiagonaal
s22DiagAs 4 6 <sz,sxY> Spiegeling tov as + diagonaal
s332LichDiag 24 1 <sxy,rxyz> Spiegeling tov alle (lichaams)diagonalen
s222As 8 1 <sx,rx2,ry2> Spiegeling tov alle assen
s422As 16 3 <sx,rx,ry2> Spiegelingen tov alle assen
s222DiagAs 8 3 <sxy,rxy,rxY> Spiegeling tov 2 diagonalen en een as
r2s11As 4 3 <sx,rx2> Spiegeling+rotatie tov een as
r4s11As 8 3 <sx,rx> Spiegeling+rotatie tov een as
r2s11Diag 4 6 <sxy,rxy> Spiegeling+rotatie tov diagonaal
r2s2AsDiag 8 3 <sxy,rx2> Diagonaalspiegelingen+asrotaties
r2s2DiagAs 8 3 <sx,rxy> Asspiegelingen+diagonaalrotaties
r3s2LichAs 24 1 <sx,rxyz> Alle asspiegelingen + alle lichaamsdiagonaalrotaties
r2s3DiagLich 12 4 <rxy,sxz> Alle spiegelingen rond een lichaamsdiagonaal
sx 2 1 <sO> Puntspiegeling
r2sxAs 4 3 <rsx> Draaispiegeling tov een as
r3sxLich 6 4 <rsxyz> Draaispiegeling tov een lichaamsdiagonaal
s432Alle 48 0 <sx,rxy> Volledige symgroep

Legenda:

  • OG = ondergroep
  • #OGn = aantal ondergroepen
  • OGvb: de genoemde operaties genereren een van de ondergroepen van de symmetriesoort

Als een beschilderde kubus rotatiesymmetrisch is rond een lichaamsdiagonaal, dan is dat voor elk van de vier lichaamsdiagonalen een andere ondergroep, bij dezelfde symmetriesoort: r33Lich.

Symmetriesoort codeBewerken

In bovenstaande tabel wordt bij elke symmetriesoort een code gegeven die iets zegt over de aard ervan. De code is gebaseerd op de door J.H. Conway bedachte orbifoldhandtekening.[2][3] Die code is hier een beetje aangepast en bovendien aangevuld. In plaats van kleuren hebben de codes hier een r voor rotatiesymmetrisch en een s voor spiegelsymmetrisch. De code is aangevuld met As, Diag en/of Lich. Per symmetriesoort bij Conway kunnen bij de kubus meerdere symmetriesoorten voorkomen, omdat een kubus weliswaar topologisch equivalent is met een bol, maar een rotatie om een coördinaatas iets anders is dan een rotatie om een diagonaal, anders dan een rotatie om een lichaamsdiagonaal. Hetzelfde geldt voor spiegelingen, afhankelijk van de normaal op het spiegelvlak: coördinaatas, diagonaal of lichaamsdiagonaal. De code begint met een aanduiding van de aard van de symmetriesoort gebaseerd op de Conwaycode. Daarachter komt een aanduiding van de richting van de rotaties en spiegelingen waaruit de symmetriesoort is opgebouwd. Die aanvulling is niet altijd eenvoudig uit het totaal van de symmetrieën op te maken.

Tekening van de symmetriesoortenBewerken

De 33 symmetriesoorten van een kubus, gevisualiseerd met behulp van kleinere erin getekende kubussen:

Ontbrekend: Volledig (48-voudig) symmetrisch.

Symmetriesoorten volgens ConwayBewerken

Conway onderscheidt op een boloppervlak 14 symmetriesoorten.[4]

De 14 symmetriecodes van Conway
5 rotatiesymmetriesoorten
Conway notatie 532 432 332 22N NN
Aangepaste notatie r532 r432 r332 rN22 rNN
5 spiegelsymmetriesoorten
Conway notatie *532 *432 *332 *22N *NN
Aangepaste notatie s532 s432 s332 sN22 sNN
4 hybride symmetriesoorten
Conway notatie 3*2 2*N N* Nx
Aangepaste notatie r3s2 r2sN rNs11 rNsx

De 33 symmetriesoorten van de kubus per ConwaycodeBewerken

De symmetriesoorten r532 en s532 komen bij de kubus niet voor.

Per Conwaycode de symmetriesoorten
r432 r332 rN22 rNN
r432Alle r332LichAs r222As r1Asym
r222DiagAs r22As
r22Diag
r322LichDiag r33Lich
r422AsDiag r44As
s432 s332 sN22 sNN
s432Alle s332LichDiag s11As
s11Diag
s222As s22As
s22Diag
s222DiagAs s22DiagAs
s33Lich
s422As s44As
r3s2 r2sN rNs11 rNsx
r3s2LichAs sx
r2s2DiagAs r2s11As r2sxAs
r2s2AsDiag r2s11Diag
r2s3DiagLich r3sxLich
r4s11As

PolykubussenBewerken

Deze 33 symmetriesoorten zijn niet alleen van belang voor een kubus die is beschilderd . Ze gelden ook voor figuren die zijn opgebouwd uit kubussen, zoals polykubussen.[5] De meeste polykubussen zijn asymmetrisch, maar vele hebben een of andere symmetrie. Die symmetrie is altijd een van deze 33 symmetriesoorten.

Zie ookBewerken

Symmetriegroep van het vierkant

Cube symmetry (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

VoetnotenBewerken

  1. Craats 2014, blz 34,48
  2. Zie Orbifold_notation (Artikel in Engelstalige Wikipedia)
  3. Craats 2014, blz 38
  4. Conway 2008, blz 53
  5. Over Polykubussen is veel literatuur, zie Polycube (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

LiteratuurBewerken

John H. Conway, Heidi Burgiel en Chaim Goodman-Strauss: The Symmetries of Things, 2008

Jan van de Craats: Symmetrie op de bol en in het vlak, NAW december 2011, blz 241-252

Jan van de Craats: Een passie voor symmetrie, Epsilon Uitgaven, 2014