Symmetriegroep van de kubus

De kubus heeft octahedrale symmetrie (volledige versie $O_{h}$ en chirale versie $O$ ). De kubus is 48-voudig symmetrisch: er zijn 48 verschillende operaties op een kubus waaronder de kubus onveranderd blijft. Een kubus die op een bepaalde manier is beschilderd kan behalve 48-voudig symmetrisch ook asymmetrisch zijn of een beperkte symmetrie hebben. Die symmetrie is dan een van de ondergroepen van de symmetriegroep van de kubus.

Inleiding bewerken

Een kubus is meervoudig symmetrisch omdat er meerdere isometrieën (in dit geval rotaties en spiegelingen) zijn waarna de kubus er precies hetzelfde uitziet: de originele kubus en de beeldkubus zijn niet van elkaar te onderscheiden. Die transformaties zijn de symmetrieën van een kubus. De verzameling van al deze transformaties is de symmetriegroep van de kubus: $K_{3}$ . $K_{3}$ bestaat uit 48 verschillende symmetrische transformaties.

De symmetrische operaties op een kubus bewerken

De 48 symmetrische operaties op de Kubus
naam	type	orde	beschrijving
e	ident	1	identiteit
rx	R4as	4	rotatie om x=(1,0,0) over 90°
rx3	R4as	4	rotatie om x=(1,0,0) over 270°
ry	R4as	4	rotatie om y=(0,1,0) over 90°
ry3	R4as	4	rotatie om y=(0,1,0) over 270°
rz	R4as	4	rotatie om z=(0,0,1) over 90°
rz3	R4as	4	rotatie om z=(0,0,1) over 270°
rx2	R2as	2	rotatie om x=(1,0,0) over 180°
ry2	R2as	2	rotatie om y=(0,1,0) over 180°
rz2	R2as	2	rotatie om z=(0,0,1) over 180°
rxy	R2diag	2	rotatie om xy=(1,1,0) over 180°
rxY	R2diag	2	rotatie om xY=(1,-1,0) over 180°
rxz	R2diag	2	rotatie om xz=(1,0,1) over 180°
rxZ	R2diag	2	rotatie om xZ=(1,0,-1) over 180°
ryz	R2diag	2	rotatie om yz=(0,1,1) over 180°
ryZ	R2diag	2	rotatie om yZ=(0,1,-1) over 180°
rxyz	R3lich	3	rotatie om xyz=(1,1,1) over 120°
rxyz2	R3lich	3	rotatie om xyz=(1,1,1) over 240°
rxYz	R3lich	3	rotatie om xYz=(1,-1,1) over 120°
rxYz2	R3lich	3	rotatie om xYz=(1,-1,1) over 240°
rxyZ	R3lich	3	rotatie om xyZ=(1,1,-1) over 120°
rxyZ2	R3lich	3	rotatie om xyZ=(1,1,-1) over 240°
rxYZ	R3lich	3	rotatie om xYZ=(1,-1,-1) over 120°
rxYZ2	R3lich	3	rotatie om xYZ=(1,-1,-1) over 240°
sx	Sas	2	vlakspiegeling, normaal=x=(1,0,0)
sy	Sas	2	vlakspiegeling, normaal=y=(0,1,0)
sz	Sas	2	vlakspiegeling, normaal=z=(0,0,1)
sxy	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=xy=(1,1,0)
sxY	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=xY=(1,-1,0)
sxz	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=xz=(1,0,1)
sxZ	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=xZ=(1,0,-1)
syz	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=yz=(0,1,1)
syZ	Sdiag	2	vlakspiegeling, normaal=yZ=(0,1,-1)
sO	Spunt	2	puntspiegeling, geen spiegelvlak
rsx	RS4as	4	rx*sx
rsx3	RS4as	4	rx3*sx
rsy	RS4as	4	ry*sy
rsy3	RS4as	4	ry3*sy
rsz	RS4as	4	rz*sz
rsz3	RS4as	4	rz3*sz
rsxyz	RS6lich	6	rxyz*sxyz
rsxyz2	RS6lich	6	rxyz2*sxyz
rsxYz	RS6lich	6	rxYz*sxYz
rsxYz2	RS6lich	6	rxYz2*sxYz
rsxyZ	RS6lich	6	rxyZ*sxyZ
rsxyZ2	RS6lich	6	rxyZ2*sxyZ
rsxYZ	RS6lich	6	rxYZ*sxYZ
rsxYZ2	RS6lich	6	rxYZ2*sxYZ

Operatie type bewerken

De symmetrische operaties van $K_{3}$ zijn naast rotaties en spiegelingen draaispiegelingen. Een draaispiegeling is een vlakspiegeling gevolgd door een rotatie om de normaal op het spiegelvlak.^[1] Deze normaal kan een coördinaatas (3, type RS4as) of een lichaamsdiagonaal (4, type RS6lich) zijn. De kubus is niet spiegelsymmetrisch t.o.v. een vlak loodrecht op een lichaamsdiagonaal, dus de gewone spiegelsymmetrieën hebben als normaal op het spiegelvlak of een coördinaatas (type Sas) of een diagonaal (type Sdiag). De rotatiesymmetrieën van de kubus zijn om alle coördinaatassen (3, type R2as en R4as), diagonalen (6, type R2diag) en lichaamsdiagonalen (4, type R3lich). De spiegeling t.o.v. het middelpunt van de kubus (type Spunt) heeft geen spiegelvlak. Ten slotte is er nog de identiteit (type ident), de triviale operatie die niets doet.

Ondergroepen bewerken

De symmetriegroep $K_{3}$ is niet zo maar een willekeurige verzameling transformaties. Als de kubus niet verandert door transformatie t₁ en ook niet door transformatie t₂, dan is duidelijk dat ook het uitvoeren van zowel t₁ als t₂ de kubus ongewijzigd zal laten: de transformaties t₁*t₂ en t₂*t₁ behoren ook tot de verzameling. De verzameling vormt een wiskundige groep, $K_{3}$ : de symmetriegroep van de kubus.

Als we een kubus beschilderen (of op een andere manier markeringen aanbrengen), dan is die kubus daarna mogelijk minder symmetrisch. Dat kan variëren van asymmetrisch tot nog steeds volledig symmetrisch overeenkomstig de blanco kubus. Maar de verzameling symmetrieoperaties is ook na beschildering een wiskundige groep. Deze symmetriegroep van een beschilderde kubus is een ondergroep van $K_{3}$ . $K_{3}$ heeft 97 ondergroepen.

De symmetriesoorten van een kubus bewerken

De 97 ondergroepen van $K_{3}$ zijn verdeeld over 32 klassen van geconjugeerde ondergroepen, inclusief de triviale ondergroep met alleen de identiteit. De ondergroepen in een klasse zijn verwisselbaar middels conjugatie. Ondergroepen die tot verschillende klassen behoren kunnen niet worden verwisseld. Deze klassen van geconjugeerde ondergroepen zijn disjunct. Samen met $K_{3}$ zelf vormen deze 32 klassen de 33 symmetriesoorten van de kubus.

Dit betekent dat als we een kubus beschilderen die kubus een van deze 33 symmetriesoorten heeft. Een symmetriesoort met meerdere ondergroepen in de conjugatieklasse heeft daarmee verschillende beschilderingen van de kubus die in essentie dezelfde symmetrie zijn.

De orde van een symmetriesoort bewerken

Elke ondergroep in een symmetriesoort heeft hetzelfde aantal symmetrische operaties. De orde $m$ van de symmetriesoort is het aantal operaties in elke ondergroep.

Tabel van de symmetriesoorten bewerken

De 33 symmetriesoorten van de Kubus
code	orde	#OGⁿ	OG(vb)	Beschrijving
r1Asym	1	1	<e>	Asymmetrisch
r22As	2	3	<rx2>	Rotatie om een (coördinaat)as over 180°
r44As	4	3	<rx>	Rotatie om een (coördinaat)as over 90°
r22Diag	2	6	<rxy>	Rotatie om een diagonaal
r33Lich	3	4	<rxyz>	Rotatie om een lichaamsdiagonaal
r222As	4	1	<rx2,ry2>	Rotatie om alle coördinaatassen over 180°
r222DiagAs	4	3	<rxy,rxY>	Rotatie om twee (overeenkomstige) diagonalen
r332LichAs	12	1	<rxyz,rxYZ>	Rotatie om alle lichaamsdiagonalen
r422AsDiag	8	3	<rx,ry2>	Rotaties om alle coördinaatassen
r322LichDiag	6	4	<rxy,rxz>	Rotatie om twee diagonalen
r432Alle	24	1	<rx,ry>	Volledig rotatiesymmetrisch
s11As	2	3	<sx>	Spiegeling t.o.v. een (coördinaat)as
s11Diag	2	6	<sxy>	Spiegeling t.o.v. een diagonaal
s22As	4	3	<sx,sy>	Spiegeling tov 2 coördinaatassen
s44As	8	3	<sx,sxy>	Alle spiegelingen 1 coördinaatas
s22Diag	4	3	<sxy,sxY>	Spiegeling tov 2 (overeenkomstige) diagonalen
s33Lich	6	4	<sxY,sxZ>	Alle spiegelingen rond een lichaamsdiagonaal
s22DiagAs	4	6	<sz,sxY>	Spiegeling tov as + diagonaal
s332LichDiag	24	1	<sxy,rxyz>	Spiegeling tov alle (lichaams)diagonalen
s222As	8	1	<sx,rx2,ry2>	Spiegeling tov alle assen
s422As	16	3	<sx,rx,ry2>	Spiegelingen tov alle assen
s222DiagAs	8	3	<sxy,rxy,rxY>	Spiegeling tov 2 diagonalen en een as
r2s11As	4	3	<sx,rx2>	Spiegeling+rotatie tov een as
r4s11As	8	3	<sx,rx>	Spiegeling+rotatie tov een as
r2s11Diag	4	6	<sxy,rxy>	Spiegeling+rotatie tov diagonaal
r2s2AsDiag	8	3	<sxy,rx2>	Diagonaalspiegelingen+asrotaties
r2s2DiagAs	8	3	<sx,rxy>	Asspiegelingen+diagonaalrotaties
r3s2LichAs	24	1	<sx,rxyz>	Alle asspiegelingen + alle lichaamsdiagonaalrotaties
r2s3DiagLich	12	4	<rxy,sxz>	Alle spiegelingen rond een lichaamsdiagonaal
sx	2	1	<sO>	Puntspiegeling
r2sxAs	4	3	<rsx>	Draaispiegeling tov een as
r3sxLich	6	4	<rsxyz>	Draaispiegeling tov een lichaamsdiagonaal
s432Alle	48	0	<sx,rxy>	Volledige symgroep

Legenda:

OG = ondergroep
#OGⁿ = aantal ondergroepen
OGvb: de genoemde operaties genereren een van de ondergroepen van de symmetriesoort

Als een beschilderde kubus rotatiesymmetrisch is rond een lichaamsdiagonaal, dan is dat voor elk van de vier lichaamsdiagonalen een andere ondergroep, bij dezelfde symmetriesoort: r33Lich.

Symmetriesoort code bewerken

In bovenstaande tabel wordt bij elke symmetriesoort een code gegeven die iets zegt over de aard ervan. De code is gebaseerd op de door J.H. Conway bedachte orbifoldhandtekening.^[2]^[3] Die code is hier een beetje aangepast en bovendien aangevuld. In plaats van kleuren hebben de codes hier een r voor rotatiesymmetrisch en een s voor spiegelsymmetrisch. De code is aangevuld met As, Diag en/of Lich. Per symmetriesoort bij Conway kunnen bij de kubus meerdere symmetriesoorten voorkomen, omdat een kubus weliswaar topologisch equivalent is met een bol, maar een rotatie om een coördinaatas iets anders is dan een rotatie om een diagonaal, anders dan een rotatie om een lichaamsdiagonaal. Hetzelfde geldt voor spiegelingen, afhankelijk van de normaal op het spiegelvlak: coördinaatas, diagonaal of lichaamsdiagonaal. De code begint met een aanduiding van de aard van de symmetriesoort gebaseerd op de Conwaycode. Daarachter komt een aanduiding van de richting van de rotaties en spiegelingen waaruit de symmetriesoort is opgebouwd. Die aanvulling is niet altijd eenvoudig uit het totaal van de symmetrieën op te maken.

Tekening van de symmetriesoorten bewerken

De 33 symmetriesoorten van een kubus, gevisualiseerd met behulp van kleinere erin getekende kubussen:

Kubus symmetriesoorten

Ontbrekend: Volledig (48-voudig) symmetrisch.

Symmetriesoorten volgens Conway bewerken

Conway onderscheidt op een boloppervlak 14 symmetriesoorten.^[4]

De 14 symmetriecodes van Conway
5 rotatiesymmetriesoorten
Conway notatie	532	432	332	22N	NN
Aangepaste notatie	r532	r432	r332	rN22	rNN
5 spiegelsymmetriesoorten
Conway notatie	*532	*432	*332	*22N	*NN
Aangepaste notatie	s532	s432	s332	sN22	sNN
4 hybride symmetriesoorten
Conway notatie		3*2	2*N	N*	Nx
Aangepaste notatie		r3s2	r2sN	rNs11	rNsx

De 33 symmetriesoorten van de kubus per Conwaycode bewerken

De symmetriesoorten r532 en s532 komen bij de kubus niet voor.

Per Conwaycode de symmetriesoorten
r432	r332	rN22	rNN
r432Alle	r332LichAs	r222As	r1Asym
		r222DiagAs	r22As
			r22Diag
		r322LichDiag	r33Lich
		r422AsDiag	r44As
s432	s332	sN22	sNN
s432Alle	s332LichDiag		s11As
			s11Diag
		s222As	s22As
			s22Diag
		s222DiagAs	s22DiagAs
			s33Lich
		s422As	s44As
r3s2	r2sN	rNs11	rNsx
r3s2LichAs			sx
	r2s2DiagAs	r2s11As	r2sxAs
	r2s2AsDiag	r2s11Diag
	r2s3DiagLich		r3sxLich
		r4s11As

Polykubussen bewerken

Deze 33 symmetriesoorten zijn niet alleen van belang voor een kubus die is beschilderd . Ze gelden ook voor figuren die zijn opgebouwd uit kubussen, zoals polykubussen.^[5] De meeste polykubussen zijn asymmetrisch, maar vele hebben een of andere symmetrie. Die symmetrie is altijd een van deze 33 symmetriesoorten.

Zie ook bewerken

Symmetriegroep van het vierkant

Cube symmetry (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

Voetnoten bewerken

↑ Craats 2014, blz 34,48
↑ Zie Orbifold_notation (Artikel in Engelstalige Wikipedia)
↑ Craats 2014, blz 38
↑ Conway 2008, blz 53
↑ Over Polykubussen is veel literatuur, zie Polycube (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

Literatuur bewerken

John H. Conway, Heidi Burgiel en Chaim Goodman-Strauss: The Symmetries of Things, 2008

Jan van de Craats: Symmetrie op de bol en in het vlak, NAW december 2011, blz 241-252

Jan van de Craats: Een passie voor symmetrie, Epsilon Uitgaven, 2014

[1] Craats 2014, blz 34,48

[2] Zie Orbifold_notation (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

[3] Craats 2014, blz 38

[4] Conway 2008, blz 53

[5] Over Polykubussen is veel literatuur, zie Polycube (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]