Wikipedia

Imaginaire eenheid: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
Binnen de [[wiskunde]] is het door de definitie van de '''imaginaire eenheid''', mogelijkaangeduid geblekenmet ook aan wortels van vergelijkingen als <math>x^2=-1\!</math>''i'', een betekenis te geven. De verzameling van despeciaal [[reëelcomplex getal|reële getallen]], wordtwaarvoor zoper uitgebreiddefinitie tot de verzameling van de [[complex getal|complexe getallen]].geldt:
 
:<math>xi^2 = -1</math>.▼
De behoefte aan uitbreiding ontstaat onder meer vanuit het gegeven dat niet elke [[polynoom|polynomiale vergelijking]] van de [[polynoom|graad]] ''n'' binnen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] ''n'' oplossingen heeft. Binnen de complexe getallen is dit wel het geval (hoewel oplossingen wel met elkaar samen kunnen vallen), zie de [[Hoofdstelling van de Algebra]]. ▼
 
Door de invoering van de imaginaire eenheid is het mogelijk gebleken ook aan wortels van vergelijkingen als <math>x^2=-1</math> een betekenis te geven. De verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] wordt zo uitgebreid tot de verzameling van de [[complex getal|complexe getallen]].
De '''imaginaire eenheid''', aangeduid met ''i'', is per definitie een oplossing van de vergelijking
 
▲De behoefte aan uitbreiding ontstaat onder meer vanuit het gegeven dat niet elke [[polynoom|polynomiale vergelijking]] van de [[polynoom|graad]] ''n'' binnen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] ''n'' oplossingen heeft. Binnen de complexe getallen is dit wel het geval (hoewel oplossingen wel met elkaar samen kunnen vallen), zie de [[Hoofdstelling van de Algebra]].
▲:<math>x^2 = -1</math>
 
De vergelijking ''x<supmath>x^2=-1</supmath> = -1'' is van de graad 2, en heeft dus inderdaad 2 oplossingen:. ''Per definitie is <math>x=i''</math> een oplossing, en ''bijgevolg ook <math>x=-i''</math>. ▼
Er wordt in feite 'gedefinieerd' dat deze vergelijking een oplossing heeft.
 
==Quaternionen==
Als we eenmaal weten dat ''i'' een oplossing is, dan is eenvoudig in te zien dat ook ''-i'' een oplossing is, immers:<br>
Soms zegt men dat deze vergelijking nog meer oplossingen heeft, Men definieert naast de imaginaire eenheid ''i'' de speciale [[quaternion]]en j en k, verschillend van elkaar en van ''i'', waarvan het kwadraat eveneens gelijk is aan -1.
''(-i)<sup>2</sup> = (-i) (-i) = -1 × i × -1 × i = -1 × -1 × i × i = (-1 × -1) × (i × i) = 1 × -1 = -1''.
 
▲De vergelijking ''x<sup>2</sup> = -1'' is van de graad 2, en heeft dus inderdaad 2 oplossingen: ''i'' en ''-i''.
 
 
Soms zegt men dat deze vergelijken nog meer oplossingen heeft die verschillen van i en -i, met name j, -j, k en -k. Als men deze 4 andere 'imaginaire' eenheden definieert, dan bevindt men zich op het terrein van de [[quaternion]]en.
==Opmerking==
 
De imaginaire eenheid wordt soms genoteerd als
<math>\sqrt{-1}</math>. De rekenregels[[vierkantswortel]] dieis geldenechter niet gedefinieerd voor [[negatief getal|negatieve getallen]] en men kan de vierkantswortel zijnniet '''alleen'''met gedefinieerdbehoud voorvan '''positieveeigenschappen getallenuitbreiden (entot nul)'''.negatieve getallen.
Zo zou door onterechte toepassing van de rekenregels het volgende 'bewijs' geconstrueerd kunnen worden:
Als (ten onrechte) een dergelijke rekenregel zou worden toegepast voor
''a = -1'', dan kan het volgende 'bewijs' worden geconstrueerd:
 
:<math>-1 = i *\cdot i = \sqrt{-1} * \sqrt{-1} = \sqrt{-1 *\cdot -1} = \sqrt{1} = 1</math>
 
De fout zit hem in de toepassing van de rekenregel
De incorrectheid in dit 'bewijs' zit hem in de stap <math>\sqrt{-1} * \sqrt{-1} = \sqrt{-1 * -1}</math>; de rekenregel <math>\sqrt{a} * \sqrt{b} = \sqrt{a * b}</math> geldt namelijk niet voor negatieve ''a'' en ''b''. Er geldt dat <math>\sqrt{-1} * \sqrt{-1}=-1</math> en <math>\sqrt{-1 * -1}=1</math>; deze zijn dus niet gelijk.
:<math>\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>.
 
Deze regel geldt namelijk niet voor negatieve ''a'' en ''b''.
 
Zie ook bij [[complex getal]] voor de tegenspraken die zouden ontstaan als tegen deze regel gezondigd wordt. Zie verder ook [[wortel (wiskunde)|wortel]] voor definities van wortels voor complexe getallen en [[quaternion]]en.
 
==''i''De imaginaire eenheid en de formule van Euler==
 
Als we in de [[formule van Euler]] <math>e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}</math>, voor ''x'' substitueren &pi;/2, dan ontstaat
 
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Imaginaire_eenheid"