Wikipedia

Differentieerbaarheid: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Qwertyus (overleg | bijdragen)
10.947 bewerkingen
k Titel van Differentieerbaar gewijzigd over de redirect Differentieerbaarheid: z.nw. als titel
Regel 34:
 
===Meer dan één veranderlijke in het domein===
De uitbreiding voor <math>''m>''&gt;1</math> ligt minder voor de hand, omdat we niet zonder meer door een vector <math>\Delta x</math> kunnen delen.
 
Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip [[partiële afgeleide|partiële differentieerbaarheid]]. We zeggen dat <math>''f</math>'' in <math>x</math> ''x partieel differentieerbaar is naar de <math>i</math>-de veranderlijke'' als de ''partiële functie''
 
:<math>g_i:pt\mapsto f(x_1,\ldots,px_{i-1},t,x_{i+1}\ldots,x_m)</math>
 
gewoon differentieerbaar is in <math>x_it</math>. De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke ''t'' noemt men [[partiële afgeleide]] (van ''f'' naar de ''i''-de veranderlijke), genoteerd
 
:<math>{\partial f\over\partial x_i}(x_1,\ldots,x_{i-1},t,x_{i+1}\ldots,x_m)=g'_i(t)</math>
 
Het bestaan van partiële afgeleiden in alle <math>m</math> veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.
 
We zeggen dat <math>f</math> ''f differentieerbaar'' is in een punt <math>x\in\mathbb{R}^m</math> als er een [[lineaire afbeelding]]
 
:<math>A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n</math>
Regel 54 ⟶ 56:
Hierbij is de functie <math>\left\| \cdot \right\| : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}</math> de bekende [[norm (wiskunde)#Voorbeelden|Euclidische norm]]. Verder is <math>\Delta x</math> een vector in <math>\mathbb{R}^m</math>, waarvan in de limiet de [[norm (wiskunde)|norm]] willekeurig klein gemaakt wordt.
 
De lineaire afbeelding <math>''A</math>'' heet de ''afgeleide'' van <math>''f</math>'' in de vector <math>''x</math>.''
In het geval <math>''m''=1</math> is de lineaire afbeelding: vermenigvuldiging met de constante "afgeleide van <math>''f</math>'' in <math>''x</math>''" , en vallen we terug in de klassieke definitie.
 
Als <math>''f</math>'' op deze manier afleidbaar is in <math>''x</math>,'' dan is ze ook continu in <math>''x</math>'' én partieel differentieerbaar in alle <math>''m</math>'' veranderlijken afzonderlijk. De [[matrix (wiskunde)|matrix]] van de lineaire afbeelding <math>''A</math>'' bestaat uit alle verschillende partiële afgeleiden van <math>''f</math>'' in <math>''x</math>'':
 
:<math>A_i^j={\partial f_i\over\partial x_j}(x) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, j = 1, ..., m; \, \, i = 1, ..., n </math>
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentieerbaarheid"