Tralie (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Algebraïsche structuur: Wat een gezeur |
Dat ook nog |
||
Regel 74:
De beide definities van een tralie zijn equivalent in de zin dat in een tralie als partieel geordende verzameling het supremum en het infimum twee binaire bewerkingen zijn die voldoen aan de daaraan gestelde eisen voor een tralie als algebraïsche structuur, en omgekeerd de binaire bewerkingen in een tralie als algebraïsche structuur een partiële orde induceren met de verlangde eigenschap.
Stel dat de partieel geordende verzameling <math>(L, \le)</math> een tralie is.
:<math>x \lor (y\lor z) = \sup\{x,y\lor z\} = \sup\{x,y,z\} = (x \lor y)\lor z</math>
en
:<math>x \land (y\land z) = \inf\{x,y\land z\} = \inf\{x,y,z\} = (x \land y)\land z</math>
Ook gelden de absorpte-eigenschappen:
:<math>x \lor (x \land y) = \sup\{x,\inf\{x,y\}\} = x</math>
en
:<math>x \land (x \lor y) = \inf\{x,\sup\{x,y\}\} = x</math>
Als omgekeerd de algebraïsche structuur <math>(L, \lor, \land)</math> een tralie is, kan een partiële ordening <math>\le</math> gedefinieerd worden door:
Regel 87 ⟶ 97:
en als <math>y = x \lor y</math>, dan is <math>x \land y = x \land (x \lor y) = x</math>, dus <math>x \le y</math>.
Inderdaad is <math>\le</math> een
:<math>x \le x</math>, want <math>x \land x = x</math>
| |||