|
In de [[verzamelingenleer]] is een [[Tweeplaatsige relatie|binairetweeplaatsige relatie]] tussen [[Element (wiskunde)|elementen]] in een [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] '''reflexief''' als voor alle elementen geldt dat er een relatie is tussen dat element en zichzelf. Reflexiviteit is een van de voorwaarden voor een [[equivalentierelatie]].
== Definitie ==
Formeel geldt dat eenEen relatie ''<math>R''</math> op een verzameling ''<math>X''</math> is reflexief is als:
:<math>\forall a \in X, \ aRa</math>
== Gerelateerde begrippen ==
Een relatie ''<math>R''</math> is '''irreflexief''' als er geen enkel element in ''<math>X''</math> is dat in relatie staat met zichzelf:
:<math>\forall a \in X, \ \neg (aRa)</math>
Een relatie ''<math>R''</math> is '''niet reflexief''' als er een element in ''<math>X''</math> is dat niet in relatie staat met zichzelf:
:<math>\exists a \in X, \ \neg (aRa)</math>
Een relatie ''<math>R''</math> is '''niet irreflexief''' als er een element in ''<math>X''</math> is dat in relatie staat met zichzelf:
:<math>\exists a \in X, \ aRa</math>
De binaire[[tweeplaatsige relatie]] "''is gelijk aan''" is bijvoorbeeld reflexief aangezien voor elkieder element geldt dat het gelijk is aan zichzelf. De binairetweeplaatsige relatie "''is groter dan''" is irreflexief aangezien geen enkel element groter is dan zichzelf.
De volgende relaties zijn reflexief:
* ' 'is gelijk aan' ', het bepalen van ([[ gelijkheidGelijkheid (wiskunde)|gelijkheid]] )▼
* ' 'is een deelverzameling van' ', het nemen van een ([[deelverzameling]] )▼▲*''is gelijk aan'' ([[gelijkheid (wiskunde)|gelijkheid]])
* ' 'is groter/kleiner dan of gelijk aan '' ▼▲*''is een deelverzameling van'' ([[deelverzameling]])
* ' 'is een deler van '', voor <math>\N \setminus \{ 0 \}</math> ▼▲*''is groter/kleiner dan of gelijk aan''
▲*''is een deler van'', voor <math>\N \setminus \{ 0 \}</math>
De volgende relaties zijn irreflexief:
== Reflexieve afsluiting en reductie == ▼* De '''reflexieve afsluiting ''' van ''<math>R ''</math>, genoteerd als ''R'' < supmath> R^=</ supmath>, is de tweeplaatsige relatie ''R'' < supmath> R^=</ supmath> op ''<math>X ''</math> waarvoor geldt dat voor alle ''<math>x '', ''y '' ∈\in ''X ''</math> geldt dat ''x'' ''R'' < supmath> xR^= </sup> ''y '' desda\Leftrightarrow ''x'' ''R'' ''y''\ xRy</math> of ''<math>x '' = ''y ''</math>. ▼* De '''reflexieve reductie ''' van ''<math>R ''</math>, genoteerd als ''R'' < supmath> ≠R^=</ supmath>, is de tweeplaatsige relatie ''R'' < supmath> ≠R^\ne</ supmath> op ''<math>X ''</math> waarvoor geldt dat voor alle ''<math>x '', ''y '' ∈\in ''X ''</math> geldt dat ''x'' ''R'' < supmath> ≠</sup> ''xR^\ne y '' desda\Leftrightarrow ''x'' ''R'' ''y''\ xRy</math> en ''<math>x '' ≠\ne ''y ''</math>. ▼
▲==Reflexieve afsluiting en reductie==
▲* De '''reflexieve afsluiting''' van ''R'', genoteerd als ''R'' <sup>=</sup>, is de tweeplaatsige relatie ''R'' <sup>=</sup> op ''X'' waarvoor geldt dat voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'' geldt dat ''x'' ''R'' <sup>=</sup> ''y'' desda ''x'' ''R'' ''y'' of ''x'' = ''y''.
▲* De '''reflexieve reductie''' van ''R'', genoteerd als ''R'' <sup>≠</sup>, is de tweeplaatsige relatie ''R'' <sup>≠</sup> op ''X'' waarvoor geldt dat voor alle ''x'', ''y'' ∈ ''X'' geldt dat ''x'' ''R'' <sup>≠</sup> ''y'' desda ''x'' ''R'' ''y'' en ''x'' ≠ ''y''.
[[Categorie:Verzamelingenleer]]
| 