Zeven bruggen van Koningsbergen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
gedeeltelijke restore |
uitleg van de redenering verbeterd en enkele storende fouten verwijderd |
||
Regel 4:
De stad [[Koningsbergen]] (het tegenwoordige [[Kaliningrad]]) lag in het oosten van [[Pruisen]] aan de rivier de [[Pregel]], waarin twee eilanden lagen die door zeven bruggen met elkaar en met de vaste wal verbonden waren, hieronder schematisch afgebeeld. De vraag was nu of het mogelijk is om zó te lopen dat je precies één keer over elke brug komt. In sommige versies van het vraagstuk werd ook geëist dat men weer bij het startpunt eindigt.
In [[1736]] heeft Euler op zeer eenvoudige wijze aangetoond dat dit onmogelijk is.
{|
Regel 13:
In de [[Grafentheorie|graaf]] (rechter afbeelding) wordt elke brug voorgesteld door een lijn, en de eilanden en oevers door een blauw knooppunt.
Het aantal lijnen dat aan een punt grenst, heeft de graad van dat punt. Speciaal van belang is het onderscheid tussen even en oneven graad: de punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen noemen we punten van oneven graad. Grenst er een even aantal lijnen aan het punt, dan noemen we het een punt van even graad.
De punten die aan een oneven aantal lijnen grenzen noemen we punten van oneven graad. Men kan aantonen dat het aantal punten van oneven graad in elke graaf even is. Om een [[Eulerwandeling]] of [[Eulertoer]], waarbij men precies één keer over elke lijn loopt, mogelijk te maken, moeten er nul of twee punten van oneven graad zijn. Zijn er twee punten van oneven graad, dan moet de wandeling starten in het ene oneven punt en eindigen in het andere oneven punt. Zijn er geen punten van oneven graad, dan kan de wandeling overal beginnen en eindigt de wandeling waar zij begonnen is. Geen van beide is in Koningsbergen mogelijk doordat er meer dan twee punten grenzen aan een oneven aantal lijnen.▼
Heeft een knooppunt 1 lijn, dan kan het alleen begin- of eindpunt van een route zijn. Heeft een knooppunt 2 lijnen, dan kan het óf zowel beginpunt als eindpunt van een route zijn, óf het is een tussenstation op een doorgaande route. Deze redenering is door te trekken naar hogere graden. Bij een oneven graad moet het eiland/oever beginpunt of startpunt zijn van een route.
Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar meer met hun relatieve vorm.▼
▲
Euler geldt als een van de grootste wiskundigen, die veel ingewikkelde problemen heeft opgelost. Het probleem van de zeven bruggen is echter kinderlijk eenvoudig, en het is heel goed denkbaar dat iemand anders de oplossing al eerder heeft gevonden.▼
▲Het verschil tussen de echte ligging en de schematische weergave van hierboven is een goed voorbeeld van het kenmerk dat topologie zich niet bezighoudt met de exacte weergave van zaken, maar
Variaties op het probleem komt men dikwijls tegen op puzzelpagina's, waarbij wordt gevraagd een figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen en zonder een lijn twee keer te tekenen. Dat is eenvoudig als men weet waar men moet beginnen: in een punt van oneven graad (als dat er is). Zijn er meer dan twee punten van oneven graad, dan is er geen oplossing. Natuurlijk is er ook geen oplossing als de figuur niet samenhangend is. Door te kijken naar het aantal punten met een oneven graad is het zelfs mogelijk zonder te tekenen al te zien of er een oplossing is. Het voordeel is dat bij meerdere figuren, die niet allemaal getekend hoeven te worden, wat tijdsbesparend werkt.▼
▲Euler geldt als een van de grootste wiskundigen, die veel ingewikkelde problemen heeft opgelost. Het probleem van de zeven bruggen
▲Variaties op het probleem komt men dikwijls tegen op puzzelpagina's, waarbij wordt gevraagd een figuur te tekenen zonder het potlood van het papier te nemen en zonder een lijn twee keer te tekenen. Dat is eenvoudig als men weet waar men moet beginnen: in een punt van oneven graad (als dat er is). Zijn er meer dan twee punten van oneven graad, dan is er geen oplossing
==De huidige staat van de bruggen==
| |||