Householdertransformatie: verschil tussen versies

In de [[lineaire algebra]] is een '''Householder-transformatiehouseholdertransformatie''' een [[lineaire afbeelding]], met name een reflectie (spiegeling) in de [[euclidische ruimte]] ten opzichte van een [[hypervlak]] dat door de oorsprong gaat. Het spiegelvlak wordt bepaald door een [[normaalvector]] '''u''' van lengte 1 (een [[eenheidsvector]]). De transformatie is een voorbeeld van een [[lineaire afbeelding]]. De transformatie is genoemd naar de Amerikaanse wiskundige [[Alston Scott Householder]], die ze in 1958 invoerde.<ref>{{aut|Alston S. Householder.}} "Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix." ''Journal of the ACM'' (1958), vol. 5 nr. 4, blz. 339-342. {{doi|id=10.1145/320941.320947}}</ref>

[[Bestand:Householdertransformation.svg|thumb|Householder-transformatieEen householdertransformatie in het vlak: de vector <math>x</math> wordt getransformeerd naar <math>Hx</math> door spiegeling aan het hypervlak (hier een lijn) dat de hoek tussen <math>x</math> en <math>Hx</math> in tweeën deelt]]

Een vaneindig deaantal householdertransformaties kan techniekendienen om de [[QR-decompositie]] van een matrix te berekenen. gebruiktElk Householder-transformaties omcreëert nullen teonder verkrijgende indiagonaal van één van de benedendriehoekkolommen van de matrix; en transformeert haar zo tot een [[bovendriehoeksmatrix]] (analoog aan wat bij [[Gauss-eliminatie]] gebeurt).

Om de vector <math>x</math> met een spiegeling <math>H</math> zo te spiegelen dat de gespiegelde <math>Hx</math> op de ''x''-as ligt, moet gespiegeld worden aan een hypervlak dat de hoek tussen <math>x</math> en <math>e_1=(1,0,\ldots,0)</math> in twee gelijke delen verdeelt. De genormeerde normaalvector van dat hypervlak is:

Het beeld ondervan een Householder-transformatievector vanonder een vectorhouseholdertransformatie kan men snel berekenen: men moet <math>2 uu^Tx</math> aftrekken van <math>x</math>. Dit vereist de berekening van een [[inwendig product]] en het verschil van een vector met een veelvoud van een andere vector.

In de QR-decompositie wordt een matrix <math>A</math> herleid tot een [[bovendriehoeksmatrix]] <math>R</math> door opeenvolgende Householder-transformatieshouseholdertransformaties <math>H_1, H_2, ... H_p</math>, met normaalvectoren <math>u_1, u_2, ...</math> die orthogonaal zijn ten opzichte van elkaar, zodanig dat in de kolommen van <math>A</math> de elementen onder de diagonaal nul worden. Dan is

De QR-decompositie kan men ook langs andere wegen bekomen, bijvoorbeeld via [[Givens-rotatie|givensrotatie]]s.