Versie van 10 dec 2020 18:31 bewerken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Versie 57723320 van Evanherk (overleg) ongedaan gemaakt. was verslechtering Label: Ongedaan maken ← Oudere bewerking		Versie van 10 dec 2020 18:37 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: {{Zijbalk kwantummechanica}} De '''schrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een [[kwantummechanica\|kwantummechanisch]] systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zogenaamde [[golffunctie]] <math>\psi</math> en de mechanische eigenschappen door de [[Hamiltonformalisme\|~~Hamiltoniaan~~hamiltoniaan]] <math>H</math> van het systeem, een [[Lineaire afbeelding\|operator]] die de totale energie van het systeem voorstelt. Voor een systeem van een enkel deeltje luidt de schrödingervergelijking: :<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t)</math>. Daarin is <math>\vec{r}</math> de driedimensionale [[plaatsvector]], <math>t</math> de [[tijd]] en <math>\hbar</math> de [[constante van Dirac]]; <math>i</math> is de [[imaginaire eenheid]]. Gegeven de toestand van het systeem, dat wil zeggen gegeven de golffunctie <math>\psi</math>, kan hiermee de evolutie (ontwikkeling in de tijd) van het systeem bepaald worden. Men kan de norm van de golffunctie in het kwadraat, :<math>\|\psi(\vec{r},t)\|^2</math> interpreteren als de [[kansdichtheid]] dat het deeltje op tijdstip <math>t</math> op de positie <math>\vec{r}</math> wordt aangetroffen. Regel 14 ⟶ 15: == Kwantisatie van fysische eigenschappen == Elke meetbare fysische grootheid van het systeem correspondeert met een bepaalde [[Lineaire afbeelding\|lineaire operator]] <math>\hat{O}</math>, die een bewerking op de golffunctie definieert. Als de golffunctie een [[eigenfunctie]] is van de operator, dan heeft die operator het effect van een vermenigvuldiging van die eigenfunctie met de bijbehorende [[eigenwaarde (wiskunde)\|eigenwaarde]] van de fysische grootheid. Dus als de golffunctie een eigenfunctie is van de operator <math>\hat{O}</math>, is: :<math>\hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t)</math>. De fysische grootheid van het systeem dat verkeert in de toestand die door de eigenfunctie beschreven wordt, heeft dan de bij meting nauwkeurig voorspelbare eigenwaarde <math>o_e</math>. Een operator kan meer dan één eigenfunctie hebben die een (quasi-)stabiele toestand van het systeem beschrijft; bij elke eigenfunctie hoort een eigenwaarde. Het systeem kan sprongsgewijs overgaan van de ene stabiele toestand in de andere, waarbij dus de fysische grootheid sprongsgewijs meeverandert. Dit wordt ''kwantisatie'' genoemd, waarmee de kwantummechanica zich onderscheidt van de klassieke fysica. Regel 21 ⟶ 22: :<math>\int \psi^(\vec{r},t) \hat{O} \psi(\vec{r},t) \,\mathrm{d}^3 \vec{r}</math>, waarin <math>\psi^(\vec{r},t)</math> de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t)</math>. Een voorbeeld om dit te verduidelijken: een meetbare waarde van het eendeeltjessysteem in een eendimensionale ruimte is de [[Impuls (natuurkunde)\|impuls]] van het deeltje. De hiermee corresponderende [[impulsoperator]] is <math>-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}</math>. Dus gegeven de golffunctie <math>\psi(x,t)</math>, is de verwachtingswaarde van de impuls gelijk aan: :<math>p = \int \psi^*(x,t) \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\right) \psi(x,t)\, \mathrm{d}x </math> == Betekenis van de schrödingervergelijking == Regel 36 ⟶ 37: :<math>T\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi</math> waarin <math>\nabla^2</math> de [[~~Laplace~~laplace-operator]] voorstelt. In de golfmechanica spelen dergelijke operatoren een grote rol. Zij stellen ons namelijk in staat uit een golffunctie, die we ons als een soort trillingspatroon kunnen voorstellen, bepaalde eigenschappen te berekenen; in dit geval de kinetische energie. De operator <math>T</math> werd oorspronkelijk alleen op golven toegepast. Het dualiteitsprincipe, dat stelt dat deeltjes en golven twee manifestaties van hetzelfde zijn, is nu eenvoudig wiskundig vorm te geven door <math>T</math> in de algemene uitdrukking voor de energie in te vullen. Regel 49 ⟶ 50: :<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}= E</math> De schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking, wat wil zeggen dat er slechts bepaalde golffuncties <math>\psi</math> zijn die eraan voldoen. Welke functies dat zijn wordt in belangrijke mate bepaald door de vorm van de potentiële energie V als functie van de coördinaten ''<math>x'', ''y''</math> en '' <math>z''</math> in de ruimte. <math>V(x,y,z)</math> wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern, maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies <math>\psi</math> er aan de schrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit door middel van operatoren allerlei eigenschappen berekend worden. Regel 56 ⟶ 58: == Tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking voor één deeltje == Als de ~~Hamiltoniaan~~hamiltoniaan niet van de tijd afhangt, krijgt men door scheiding van variabelen, :<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t)</math> de volgende relaties: :<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(r,t) = i \hbar {\partial\over\partial t}\phi(r)\kappa(t)=i \hbar \phi(r){\partial\over\partial t}\kappa(t)</math> :<math> H \psi(r,t)= H \phi(r)\kappa(t) = \kappa(t)H\phi(r)</math> zodat uit de schrödingervergelijking volgt: :<math>i\hbar\frac {1}{\kappa(t)}{\partial\kappa(t)\over\partial t}=\frac{H\phi(r)}{\phi(r)}</math> Linker- en rechterlid zijn dus constant, zodat: :<math>i\hbar{\partial\kappa(t)\over\partial t} = E\kappa(t)</math> en :<math> \hat{H} \phi(r)= E \phi(r)</math> Deze laatste vergelijking, met de operator ''<math>H''</math> en constante ''<math>E''</math> is de tijdsonafhankelijke schrödingervergelijking. De vergelijking is een eigenwaardevergelijking voor de operator ''<math>H''</math> met [[eigenwaarde (wiskunde)\|eigenwaarde]] ''<math>E''</math> en [[eigenfunctie]] ~~''φ''~~<math>\phi</math>. == Zie ook ==

Schrödingervergelijking: verschil tussen versies