Homomorfisme: verschil tussen versies

In het algemeen verstaat men onder een '''homomorfisme''' een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] van een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] met [[Algebraïsche structuur|structuur]] in een andere [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] met [[wiskundige structuur|structuur]] die compatibel is met de structuren, dus de structuur van het [[domein (wiskunde)|domein]] overvoert in de structuur van het [[codomein]]. Bijvoorbeeld bij structuren met één binaire operatie: als ''<math>f''</math> een homomorfisme is van ''<math>V''</math> met structuur ''<math>S''</math> in ''<math>W''</math> met structuur ''<math>T''</math> geldt voor alle <math>x,y \in V</math>:

:<math>\, \log(x \cdot y) = \log x + \log y</math>.

Een afbeelding tussen twee [[groep (wiskunde)|groepen]] <math>f:\colon G\rightarrowto G'</math> is een homomorfisme als voor ieder tweetal [[element (wiskunde)|element]]en :<math>\, a,b</math> uit <math>\, G</math> geldt:

:<math>\, f(ab)=f(a)f(b)</math>

Beschouw bijvoorbeeld de [[natuurlijke getal]]len met [[optellen]] als operatie. Een functie die een optelling bewaart moet de eigenschap hebben dat: '':<math>f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''). </math>

''f''(''x'') = 3''x'' is bijvoorbeeld zo'n homomorfsme, aangezien ''f''(''a'' + ''b'') = 3(''a'' + ''b'') = 3''a'' + 3''b'' = ''f''(''a'') + ''f''(''b''). Merk op dat dit homomorfisme de [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]]len afbeeldt in zichzelf.

Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] met de operatie optelling en de verzameling van de positieve reële getallen met de operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist hier dan de eigenschap dat:'' <math>f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') ·\cdot ''f''(''b'')</math>, aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het [[machtsverheffen]], voldoet ''<math>f''(''x'') = e<sup>''^x''</supmath> aan deze voorwaarde : 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e^''2'' · e^''3'' = e^''5''.

Een bijzonder belangrijke eigenschap van homomorfismen is dat wanneer een [[neutraal element|identiteitselement]] aanwezig is, dit altijd bewaard zal blijven. Dit neutrale element wordt namelijk op zichzelf afgebeeld. Merk op dat in het eerste voorbeeld ''<math>f''(0) = 0</math> en dat 0 dan de [[additieve identiteit]] is. In het tweede voorbeeld is ''<math>f''(0) = 1</math>, aangezien 0 hier de additieve identiteit, en 1 de multiplicatieve identiteit is.

Als we meerdere operaties op een verzameling in overweging nemen. dan, moeten alle operaties bewaard blijven, wil een functie als homomorf worden gezien. Eenzelfde functie, kan bijvoorbeeld in de [[groepentheorie]] (verzamelingen met één enkele operatie) homomorf zijn, terwijl dezelfde functie in de [[ringtheorie]] (verzamelingen met twee gerelateerde operaties) niet homomorf is, bijvoorbeeld omdat deze functie de extra operatie, die in ringtheorie wordt bestudeerd, niet bewaart.