|
[[Afbeelding\colonInjection:Injection.svg|thumb|Een injectieve, niet [[Surjectie|surjectieve]] functie]]
In de [[wiskunde]] is een '''injectie''' of '''injectieve afbeelding''', ook '''eeneenduidige afbeelding''' of '''een-op-eenafbeelding''' genoemd, een [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]], waarbij geen twee (verschillende) [[element (wiskunde)|element]]en hetzelfde [[beeld (wiskunde)|beeld]] hebben, dus anders gezegd elk beeld een uniek origineel heeft.
==Definitie==
De afbeelding <math>f\colon :A \to B</math> heet een ''injectie'' of ''injectieve afbeelding'' als voor alle <math>a,b \in \mathrm{dom}(f)</math> geldt\colon:
\colon:<math>f(a) = f(b) \Rightarrow a=b</math>
===Voorbeeld en tegenvoorbeeld===
* Beschouw de afbeelding <math>f\colon:\R \to \R</math>, gedefinieerd door <math>f(x)= 2x+1</math>. Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van <math>a</math> en <math>b</math>\colon: <math>2a+1=2b+1</math>, volgt dat de originelen <math>a</math> en <math>b</math> gelijk zijn.
* Beschouw daarentegen de afbeelding <math>g\colon:\mathbb R \rightarrow \mathbb R</math> , gedefinieerd door <math>g(x)= x^2</math>. Deze is ''niet'' injectief, omdat bijvoorbeeld <math>g(1)= g(-1)=1</math> en er dus verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.
==Eigenschappen==
*Zijn twee functies <math>f \colon: A \to B</math> en <math>g \colon: B \to C</math> injectief, dan geldt dit ook voor de [[functie-compositie|samengestelde functie]] <math>g \circ f \colon: A \to C</math>.
*Uit de injectiviteit van <math>g \circ f</math> volgt dat <math>f</math> injectief is.
*Een functie <math>f \colon: A \to B</math> is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling <math>C</math> en ieder tweetal functies <math>h_1,h_2 \colon: C \to A</math> de implicatie <math>f \circ h_1=f \circ h_2\Rightarrow h_1=h_2</math> geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de [[monomorfisme|monomorfismen]] precies de injectieve functies zijn.
*Een functie <math>f \colon: A \to B</math> is injectief dan en slechts dan als zij een ''linksinverse'' heeft, dat wil zeggen een functie <math>g \colon: B \to A</math> met de eigenschap dat <math>g \circ f=id_A</math> (hier wordt met <math>id_A</math> de identiteitsfunctie bedoeld).
*Als <math>f \colon: A \to B</math> injectief is, dan is de co-restrictie <math>f \colon: A \to f(A)</math>, (dat wil zeggen "dezelfde" functie, alleen het codomein is vervangen door het beeld <math>f(A)</math>,) bijectief.
*Voor twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> wordt de notatie <math>|A|\leq |B|</math> wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie <math>f \colon: A \to B</math> bestaat. In dit geval heeft <math>B</math> minstens evenveel elementen als <math>A</math>; voor oneindige verzamelingen wordt dit precies gemaakt met het begrip [[kardinaliteit]]. Als er twee injecties <math>A \to B</math> en <math>B \to A</math> bestaan, garandeert de [[stelling van Cantor-Bernstein-Schröder]] dat er eveneens een bijectie tussen <math>A</math> en <math>B</math> bestaat.
==Zie ook==
* [[Bijectie]]
[[Categorie\colonRelaties:Relaties op verzamelingen]]
| 