|
[[Bestand:Bijection.svg|thumb|Een bi-jectiebijectie tussen [[verzameling (wiskunde)|verzamelingenverzameling]]en {{<math|>X}}</math> en {{math|Y}}.]]
In de [[wiskunde]] is een '''bi-jectiebijectie''' of '''bi-jectievebijectieve afbeelding''' een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] die zowel [[injectie (wiskunde)|injectief]] als [[surjectie]]f is, en dus alle [[element (wiskunde)|element]]en van twee [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en in een-op-eencorrespondentie aan elkaar koppelt. Bi-jectiefBijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit de verzameling <math>X</math> gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling <math>Y</math> en dat omgekeerd ook elk element van de verzameling <math>Y</math> gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling <math>X</math>.
Een bi-jectiebijectie van de verzameling <math>X</math> op de verzameling <math>Y</math> heeft een [[inverse functie]] van <math>Y</math> naar <math>X</math>. Als <math>X</math> en <math>Y</math> [[eindige verzameling]]en zijn, betekent het bestaan van een bi-jectiebijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor [[oneindige verzameling]]en is het ingewikkelder; het leidt tot het concept van een [[kardinaalgetal]], een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.
Een bi-jectievebijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt wel een ''[[permutatie]]'' genoemd.
Bi-jectieveBijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van [[isomorfisme]], [[homeomorfisme]], [[diffeomorfisme]] en [[permutatiegroep]].
De term 'bi-jectievebijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]].
== Definitie ==
Een ''bi-jectiebijectie'' tussen twee [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en <math>X</math> en <math>Y</math> (niet noodzakelijk verschillend), is een functie of afbeelding:
:<math>f:X\to Y</math>
die [[Injectie (wiskunde)|injectief]] is, dus verschillende elementen uit <math>X</math> afbeeldt op verschillende elementen uit <math>Y</math> en ook [[Surjectie|surjectief]] is, dus alle elementen in <math>Y</math> aan een element van <math>X</math> koppelt, dus waarvoor geldt:
==Gelijkmachtigheid==
In de [[verzamelingenleer]] worden twee verzamelingen [[gelijkmachtigheid|gelijkmachtig]] of [[equipotent]] genoemd als er een bi-jectiebijectie tussen de verzamelingen bestaat. Zo worden de verzamelingen <math>\{1,2,3\}</math> en <math>\{4,8,12\}</math> gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding <math>f:\{1,2,3\}\rightarrow \{4,8,12\}</math> met <math>f(x)=x\cdot 4</math>, bi-jectiefbijectief is.
Voor [[eindige verzameling]]en is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor [[oneindige verzameling]]en echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. [[Georg Cantor|Cantor]] was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.
Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bi-jectiebijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van <math>\N</math> naar <math>\Z</math>:
* 0 wordt op 0 afgebeeld
* een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
:<math>2n\,\mapsto \, n\quad\mbox{en}\quad 2n+1\,\mapsto\, -n-1</math>
Dit is een bi-jectiebijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt.
Ook de verzameling van rationale getallen <math>\Q</math> is gelijkmachtig met deze twee.
De verzameling van reële getallen <math>\R</math> is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met <math>\R^n</math> voor elke gehele waarde van n groter dan 0.
:<math>A = \{1, 2, 3\},\quad B = \{-7, 3, 10\}</math>
:<math>f: A \to B</math>, met <math>f(1) = -7,\ f(2) = 3,\ f(3) = 10 </math>
De functie <math>f</math> is een bi-jectiebijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit <math>B</math> wordt aan 2 elementen uit <math>A</math> gekoppeld.
===Voorbeeld 2===
:<math>A = [2, 3],\quad B = [2, 4]</math>
:<math>f: A \to B</math>, met <math>f(x) = 2x-2</math>
Ook deze functie <math>f</math> is een bi-jectiebijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2,5 aan 3 gekoppeld, 2,9 aan 3,8, en 3 aan 4. Een andere bi-jectievebijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> is:
:<math>g(x) = x^2 - 3x + 4</math>
:<math>f: A \to B</math>, met <math>f(1) = 3,\ f(2)=3,\ f(3)=10</math>
Dit is geen bi-jectiebijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bi-jectiebijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat <math>f</math> niet bi-jectiefbijectief is.
===Tegenvoorbeeld 2===
:<math>f: A \to B</math>, met <math>f(x)=x^2</math>
Dit is geen bi-jectiebijectie. Het is wel zo dat elk element van <math>B</math> gekoppeld wordt aan een element van <math>A</math>, maar sommige elementen van <math>B</math> worden aan twee verschillende elementen van <math>A</math> gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld <math>f(-1)=f(1)=1</math>.
===Tegenvoorbeeld 3===
:<math>f: A \to B</math>, met <math>f(x)=x+1</math>
Dit is geen bi-jectiebijectie, want <math>f</math> is niet surjectief omdat niet alle elementen uit <math>B</math> worden gekoppeld aan een element uit <math>A</math>. Het element 0 in <math>B</math> bijvoorbeeld is van geen enkel element uit <math>A</math> het beeld. De functie <math>f</math> is wel injectief, want geen twee elementen uit <math>A</math> worden gekoppeld aan hetzelfde element van <math>B</math>.
==Zie ook==
| 