C*-algebra: verschil tussen versies

 

==Voorbeelden==

In de complexe Euclidische vectorruimte <math>\mathbb C^n</math> wordt de norm van een vector <math>a=(a_1,\ldots,a_n)</math> gegeven door

:<math>\|a\|=\sqrt{|a_1|^2+\cdots+|a_n|^2}</math>

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

 

Als bijzonder geval hiervan is <math>\mathbb C</math> zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

 

Algemener vormt de Banach-algebra <math>B(H)</math> der continue lineaire transformaties van een [[Hilbertruimte]] <math>H</math> een C*-algebra voor de involutie die elke operator <math>A</math> omvormt in zijn toegevoegde operator <math>A^*</math>: dit is de unieke afbeelding <math>A\to A^*</math> die voldoet aan

:<math>\forall x,y\in H:(Ax,y)=(x,A^*y)</math>

 

Als <math>X</math> een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte <math>C(X)</math> der complexwaardige continue functies op <math>X</math> een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

:<math>\|f\|=\max_{x\in X}|f(x)|</math>

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van <math>C(X)</math> een (commutatieve) C*-algebra.

 

==Tegenvoorbeeld==