Versie van 17 jun 2018 13:46 bewerken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 30 dec 2018 23:31 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: In de [[mechanica]] is de '''lagrangiaan''' een [[functie (wiskunde)\|functie]] van zogenaamde ''[[gegeneraliseerde coördinaten]]'' en ''gegeneraliseerde snelheden'', die samen met een stel [[differentiaalvergelijking]]en gebruikt kan worden om de [[bewegingsvergelijking]]en van een systeem af te leiden. Preciezer gezegd is de ~~Lagrangiaan~~lagrangiaan het verschil tussen de [[kinetische energie\|kinetische]] en de [[potentiële energie]] van het systeem. Deze methode om het gedrag van een systeem te bepalen wordt het ''lagrange-formalisme'' genoemd, naar de [[wiskundige]] [[Joseph-Louis Lagrange]] die het in [[1782]] introduceerde. De integraal van de Lagrangiaan over de tijd geeft de [[actie (natuurkunde)\|actie]] van een systeem. ==Wiskundige formulering== Een systeem met <math>N</math> onderscheidbare objecten beweegt zich door de [[Dimensie (algemeen)\|3-dimensionale]] [[Ruimte (natuurkunde)\|ruimte]], zodat de positie van dat systeem in principe met 3N coördinaten beschreven kan worden. Vaak heeft het systeem beperkingen in zijn bewegingsmogelijkheden, die 'constraints' genoemd worden. Deze constraints kunnen betrekking hebben op de onderlinge bewegingen van de onderscheidbare onderdelen en op de bewegingen van het hele systeem door de 3-dimensionale ruimte. Is het aantal constraints <math>k,</math>, dan kan de werkelijke positie met <math>3N-k=n</math> ''gegeneraliseerde coördinaten'' <math>q_1,q_2,\ldots,q_n</math> beschreven worden, waarin die 'constraints' ingecalculeerd zijn. Het aantal [[vrijheidsgraad\|vrijheidsgraden]] van het systeem is dan <math>n.</math> Het voordeel van deze gegeneraliseerde coördinaten is dat die onderling echt onafhankelijk zijn. Er is echter wel een conversie nodig van het standaard [[cartesisch coördinatenstelsel]] naar het gekozen gegeneraliseerde coördinatenstelsel. Hierdoor zal bijvoorbeeld de betrekkelijk eenvoudige uitdrukking voor de kinetische energie van een puntmassa waarschijnlijk ingewikkelder worden. Een voorbeeld is een karretje op een [[achtbaan]], dat weliswaar in een 3-dimensionale ruimte beweegt, maar niettemin slechts 1 vrijheidsgraad heeft, omdat de rails niet verlaten kunnen worden (als alles goed gaat). De enige <math>q</math>-coördinaat van dit karretje is de afgelegde weg langs de rails. Regel 8: Twee losse knikkers die in een kom heen en weer rollen, vormen een ander voorbeeld. Als die kom een bolvormige bodem heeft, ligt het voor de hand om op [[bolcoördinaten]] over te gaan. De positie van elke knikker kan met twee coördinaten op het bodemoppervlak beschreven worden, zodat het systeem van twee knikkers in totaal 4 vrijheidsgraden heeft. Worden de knikkers door een starre staaf met elkaar verbonden, dan moet dat in een extra 'constraint' uitgedrukt worden, die ten koste gaat van een vrijheidsgraad. Er blijven dan drie vrijheidsgraden over: twee voor de positie van het zwaartepunt van deze constructie op het bodemoppervlak en een voor de rotatiestand ervan in het bordoppervlak. De [[afgeleide]]n van deze onafhankelijke variabelen naar de [[tijd]] (de gegeneraliseerde [[snelheid\|snelheden]]) worden aangeduid door <math>\dot q_1, \dot q_2, \ldots, \dot q_n.</math>. De actuele ''bewegingstoestand'' van het systeem ligt vast in de actuele waarden van <math>q_1,q_2,\ldots,q_n</math> en <math>\dot q_1, \dot q_2, \ldots, \dot q_n.</math>. De [[kinetische energie]] <math>T</math> van het systeem kan uitgedrukt worden in deze gegeneraliseerde snelheden: :<math>T=T(\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n)</math> Regel 23: De lagrangiaan is een functie van de plaats, de snelheid en de tijd. Uitgaande van de klassieke bewegingsvergelijking van [[Wetten van Newton\|Newton]] kan afgeleid worden dat de ''bepaalde integraal'' over de tijd van de lagrangiaan <math>L</math> een extreme waarde moet hebben. Dit is de [[Actie (natuurkunde)\|actie]]-integraal. Hierbij worden de standaard plaats- en snelheidsvectoren <math>\vec r</math> en <math>\dot \vec r</math> met behulp van de <math>k</math> constraints omgezet in <math>n</math> gegeneraliseerde variabelen <math>q_i</math> en <math>\dot q_i</math>, met <math>1\le i\le n.</math>. Hiermee is [[Pierre-Louis de Maupertuis\|Maupertuis]]' [[principe van de kleinste werking]] ofwel ''actie'' wiskundig geformuleerd als een standaardprobleem van de [[variatierekening]]. Dankzij de onderlinge onafhankelijkheid van de gegeneraliseerde coördinaten <math>q_i</math> en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_i</math> leidt dit tot een stelsel van <math>n</math> [[Euler-Lagrange-vergelijking\|2e-orde-bewegingsvergelijkingen van Euler-Lagrange]]: :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L_q}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L_q}{\partial q_i}=0\quad(i=1,2,\ldots,n).</math> Uit een bewegingsvergelijking kan met behulp van beginvoorwaarden de bewegingstoestand als functie van de tijd afgeleid worden in het gegeneraliseerde [[coördinatenstelsel]]. Regel 41: :<math>L=T-V=\tfrac{1}{2}m\dot u^2-\tfrac{1}{2}Cu^2</math> De [[partiële afgeleide]] van <math>L</math> naar <math>\dot u</math> is <math>m\dot u</math>, en de partiële afgeleide naar <math>u</math> is <math>-Cu.</math>. De [[euler-lagrange-vergelijking]] van het systeem wordt dus :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot u)+Cu=0</math> Regel 50: De potentiële energie van een deeltje met lading <math>q</math> met een snelheidsvector <math>\vec{u}</math> dat zich beweegt door een scalair elektrisch [[potentiaal]]veld <math>\varphi</math> is <math>q \cdot \varphi</math> zodat de lagrangiaan eenvoudig volgt :<math>L=\tfrac{1}{2}m \vec{u} \cdot \vec{u} -q \varphi</math>. Indien echter ook een vectorgrootheid <math>B,</math>, de magnetische inductie, aanwezig is, wordt de situatie gecompliceerder. Er kan immers geen potentiële energie worden toegekend aan een geladen deeltje in een magnetisch veld. Aangezien het magnetisch veld wel degelijk de beweging van het deeltje beïnvloedt, moet de lagrangiaan als volgt uitgebreid worden: :<math>L=\tfrac{1}{2}mu^2 -q \varphi +q\vec{u} \cdot \vec{A}</math> Regel 61: :<math>\vec{E} = - \nabla \varphi - \frac {\partial\vec{A}}{\partial t}</math> Aan de beweging van het geladen deeltje worden hier geen beperkingen opgelegd, dus de gewone cartesische coördinaten <math>x,\ ,y</math> en <math>z</math> kunnen als gegeneraliseerde coördinaten worden gebruikt voor de snelheidsvector <math>\vec{u}</math>, met bijbehorende gegeneraliseerde snelheden <math>\dot{x},\, \dot{y},\, \dot{z}.</math>. De <math>x</math>-component van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange wordt dan: :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}</math> Invullen van de lagrangiaan levert met <math>u^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2</math>. :<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{x}+qA_x)=-q\frac{\partial \varphi}{\partial x} +q\frac{\partial}{\partial x}(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z)</math>

Lagrangiaan: verschil tussen versies