Harmonische rij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Label: Ongedaan maken |
De terugzetting door Brimz was strijdig met Maatregel-1 en Maatregel-2 in de ArbCom-uitspraak. Label: Ongedaan maken |
||
Regel 1:
:<math>\tfrac 11,\ \tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \ldots</math>, ▼
De meest bekende harmonische rij, ''DE harmonische rij'' ofwel [[Breuk (wiskunde)|''de stambreukenrij'']], is de rij
dus de rij <math>(t_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>t_n=\tfrac{1}{n}</math>▼
:<math>1,\ \frac{1}{
▲dus de rij <math>(t_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>t_n=\tfrac{1}{n}\ </math>.
De [[partiële som]]men van deze rij, de getallen
: <math>1,~~~\frac32 (=1{+}\tfrac12
▲: <math>1,~~~1{+}\tfrac12~({=}\tfrac32), ~~~1{+}\tfrac12{+}\tfrac13~({=}\tfrac{11}{6}),~~~1{+}\tfrac12{+}\tfrac13{+}\tfrac14~({=}\tfrac{25}{12}),~~\ldots</math>
Bij voldoende hoog rangnummer blijken deze getallen elke grens, hoe groot ook, te overschrijden. De rij der harmonische getallen is daarom [[Convergentie (wiskunde)|''divergent'']], en de rij <math>~1,\ \tfrac12,\ \tfrac13,\ \tfrac14,\ \tfrac15,~~\ldots~</math> ''niet sommeerbaar''.
De naam
==
=== Formulevorm ===
De bij de harmonische rij behorende [[reeks (wiskunde)|reeks]] heet de ''harmonische reeks'':▼
Omdat een harmonische rij bestaat uit de omgekeerden van een rekenkundige rij, is elke harmonische rij te schrijven als
▲:<math>\
=== Bepaald door eerste en tweede term ===
Dat laatste volgt uit de vergelijking van de harmonische rij (H) met een andere rij (K) waarvan de meeste termen kleiner zijn dan (soms gelijk aan, maar nooit groter dan) die op dezelfde plaats in rij H. ▼
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, geheel bepaald door de eerste twee termen
=== Harmonisch gemiddelde ===
In elke harmonische rij is elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van zijn beide buren<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Harmonic_series Encyclopedia of Mathematics]</ref>. <br>In formule: <math>~~t_{n} = \frac{2}{\frac{1}{t_{n-1}}+\frac{1}{t_{n+1}}}~~</math> ofwel <math>~~\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n-1}}+\frac{1}{t_{n+1}}\right)~</math>.
=== Niet sommeerbaar ===
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet)
▲
Die vergelijkingsrij bevat (steeds langer wordende) rijtjes gelijke breuken, gelijk aan de eerstvolgende term van H waarvan de noemer (en het rangnummer) een macht van 2 is.
Regel 28 ⟶ 39:
Elk groepje gelijknamige breuken in rij K heeft <math>\tfrac12</math>  als som. Dat maakt dat de rij partiële sommen van K naar oneindig gaat, want die stijgende rij bevat (onder meer) als termen: <math>1,\ 1\tfrac12,\ 2,\ 2\tfrac12,\ 3,\ \ldots\ </math> De grótere partiële sommen van H zullen dus zeker ook naar oneindig gaan, en dus is H niet sommeerbaar.
==
De woord 'harmonisch' komt ook voor in de aanduiding van rijen die niet voldoen aan de definitie in de eerste zin hierboven:
▲De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>a\ge 0,\ v > 0)</math> als
=== Alternerend harmonisch ===
▲:<math>\frac{1}{a+v},\ \frac{1}{a+2v},\ \frac{1}{a+3v},\ \frac{1}{a+4v},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots</math>
▲Voor <math>a=0,\,v=1</math> is dit DE harmonische rij.
=== Hyperharmonisch ===
▲Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, geheel bepaald door de eerste twee termen. Omdat het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, geldt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}</math>:
Voor elke positieve exponent <math>p</math> ''ongelijk'' 1 heet de rij <math>~1, \tfrac1{2^p}, \tfrac1{3^p}, \tfrac1{4^p}, \tfrac1{5^p},\ \ldots~</math> ''hyperharmonisch''; voor <math>p>1</math> is de rij sommeerbaar.
== Harmonische reeks ==
Met '' 'de harmonische reeks' '' kan bedoeld zijn:
▲:<math>t_{n+1} = \frac{1}{\frac{2}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}}</math>
* de rij der harmonische getallen<ref>M. Veraar, ''Wiskundige structuren'' (TU Delft) 2016: "De rij der partiële sommen <math>(s_n)_{n\ge 0}~</math> wordt de ''reeks'' van <math>(a_j)_{j\ge 0}</math> genoemd", [https://ocw.tudelft.nl/wp-content/uploads/Wiskundige_structuren_VI.1_Convergentie_van_Reeksen.pdf ]</ref>,
* DE harmonische rij zelf (want in veel situaties werd lange tijd, en wordt nog wel, 'reeks' als synoniem voor 'rij' gebruikt<ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref>),
▲
▲Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
▲Hoewel de rij met als termen <math>1, -\tfrac{1}{2},\ \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{4},\ \tfrac{1}{5},\ \ldots</math> wel wordt aangeduid als ''de alternerende harmonische rij'', voldoet die rij niet aan bovenstaande definitie van 'harmonische rij'.
== Zie ook ==
| |||