Versie van 8 nov 2018 13:24 bewerken Hesselp (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 3.884 bewerkingen Versie 52590717 van The Banner (overleg) ongedaan gemaakt. Aan terugdraaiers: graag eerst overleg over (weerlegging van?) commentaarpunten a-g in mijn OP-bijdrage 5 nov 2018 14:09. Label: Ongedaan maken ← Oudere bewerking		Versie van 8 nov 2018 13:30 bewerken ongedaan maken Trewal (overleg \| bijdragen) 9.860 bewerkingen Versie 52591063 van Hesselp (overleg) ongedaan gemaakt. Er is geen consensus voor die wijzigingen. Label: Ongedaan maken Nieuwere bewerking →
Regel 1: In de [[wiskunde]] wordt met '''harmonische rij''' in engere zin de volgende [[Rij (wiskunde)\|rij]] aangeduid: :<math>1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \ldots\ ,\ \frac{1}{n},\ \ldots\ \ </math>, dus de rij <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> met algemene term <math>a_n=1/n</math>. De benaming ''harmonische rij'' wordt ook gebruikt voor een ruimer begrip, zoals hieronder besproken. Regel 29: == Meer algemeen == De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)\|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde\|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>ac\ge 0,\ v > 0)</math> als :<math>\frac{1}{ac+v},\ \frac{1}{ac+2v},\ \frac{1}{ac+3v},\ \frac{1}{ac+4v},\ \ldots~~\ ,\ \frac{1}{a+nv},\ \ldots\~~ </math> Voor <math>ac=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij. Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. ~~Want uit het constant blijven van~~Aangezien het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1}~~,\, t_{n+2}\~~ </math>:▼ ~~=== Eigenschappen ===~~ :<math>\frac{1}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_n}=\frac{1}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}</math>, ▲Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. Want uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van opvolgende termen, volgt voor een drietal <math>\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>: ~~:<math>\frac1{t_{n+2}}-\frac1{t_{n+1}} = \frac1{t_{n+1}}-\frac1{t_{n}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{n+2} = \frac{1}{\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n}}}~</math>.~~ waaruit volgt dat iedere term als volgt is vastgelegd door de twee voorgaande termen: Voor elke harmonische rij geldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren, in formule:▼ :<math>t_{n+1} = \frac{21}{\frac{12}{~~t_{n~~t_n}-~~1}}+~~\frac{1}{t_{n+-1}}}~</math>. ▲~~Voor~~Tevens ~~elke harmonische~~is ~~rij~~te ~~geldt~~zien dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren~~, in formule~~: :<math>\frac{1}{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}{t_{n+1}}+\frac{1}{t_{n-1}}\right)</math> Elke harmonische rij is [[Monotone functie\|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)\|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).

Harmonische rij: verschil tussen versies