Wikipedia

Harmonische rij: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
k spelling
Zie OP voor de lijst van 'manco-punten' in de voorafgaande versie. Vraag aan Madyno en Bob.v.R: graag op OP toelichten op welke punten de vorige versie beter geformuleerd en systematischer zou zijn.
Regel 13:
De naam van de rij is afkomstig van de verhoudingen van de snaarlengten van de [[Harmonische boventoonreeks|harmonische boventonen]] tot de [[grondtoon (muziekleer)|grondtoon]], die ontstaan door een [[Snaar (muziek)|snaar]] in delen onder te verdelen. Een andere verklaring verwijst naar het feit dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren.<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Harmonic_series Encyclopedia of Mathematics]</ref>
 
== Harmonische reeks ==
De bij de harmonische rij behorende [[reeks (wiskunde)|reeks]] heet de ''harmonische reeks'':
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1n~</math>.
Regel 31:
De benaming ''harmonische rij'' is in meer algemene zin ook in gebruik voor [[Rij (wiskunde)|rijen]] waarvan de termen de [[Omgekeerde|omgekeerden]] zijn van de termen van een [[rekenkundige rij]].<ref>[https://www.britannica.com/science/harmonic-sequence-mathematics Encyclopaedia Britannica, Harmonic sequence]</ref><ref>James and James, [https://books.google.nl/books?id=UyIfgBIwLMQC&lpg=PP1&dq=James%20and%20James%2C%20Mathematics%20dictionary%2C%201992&hl=nl&pg=PA196#v=onepage&q&f=false ''Mathematics dictionary''], 1992, p196, onder ''harmonic sequence'': "A sequence whose reciprocals form an arithmetic sequence."</ref><ref>Van Dale, ''Groot woordenboek der Nederlandse taal'', 1995, p1107, onder ''harmonisch'': "(wisk.) ''harmonische evenredigheid'', waarin a:c = (b‑a) : (c‑b); (wisk.) ''harmonische reeks'', rij van getallen waarvan elke drie opeenvolgende voortdurend harmonisch evenredig zijn"</ref> Elke harmonische rij is dus te noteren (met <math>a\ge 0,\ v > 0)</math> als
:<math>\frac{1}{a+v},\ \frac{1}{a+2v},\ \frac{1}{a+3v},\ \frac{1}{a+4v},\ \ldots</math>
Voor <math>~a=0,~v=1~</math> is dit ''DE'' harmonische rij.
 
Een harmonische rij is, net als een rekenkundige en een meetkundige, helemaal bepaald door de eerste twee termen. AangezienWant uit het constant blijven van het verschil tussen de ''omgekeerden'' van twee opvolgende termen constant is, volgt voor een drietal <math>t_{n-1},\, t_n,\, t_{n+1},\, t_{n+2}\ </math>:
:<math>\fracfrac1{t_{n+1}}-\frac1{t_n} = \frac1{t_{n+12}}-\fracfrac1{t_{n+1}}~~</math>en daaruit <math>~~t_{t_nn+2} = \frac{1}{t_n\frac{2}{t_{n+1}}-\frac{1}{t_{n-1}}}~</math>,.
 
waaruitVoor volgtelke harmonische rij geldt dat elke term (vanaf de tweede) het [[harmonisch gemiddelde]] is van beide buren. Dit houdt in dat het ''omgekeerde'' van elke term (vanaf de tweede) het [[rekenkundig gemiddelde]] is van de omgekeerden van zijn buren. In formulevorm:
:<math>\frac{1}frac1{t_n}=\tfrac12\left(\frac{1}frac1{t_{n+1}}+\frac{1}frac1{t_{n-1}}\right)</math>.
 
Voor de algemene term geldt dan
:<math>t_{n+1} = \frac{1}{\frac{2}{t_n}-\frac{1}{t_{n-1}}}</math>
 
Elke harmonische rij is [[Monotone functie|monotoon]] dalend en [[Convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar 0 (heeft 0 als limiet), maar geen enkele harmonische rij is sommeerbaar (geen enkele heeft een convergerende rij van [[partiële som]]men).
 
Hoewel de rij met als termen <math>\ 1, -\tfrac{1}{2}, \ \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{4}, \ \tfrac{1}{5}, \ \ldots \ </math> wel wordt aangeduid als ''de alternerende harmonische rij'', voldoet die rij niet aan bovenstaande definitie van 'harmonische rij'.
 
== Zie ook ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Harmonische_rij"