Kruisproduct: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Invulling parameters sjabloon |
|||
Regel 1:
Het '''kruisproduct''', '''vectorproduct''', '''vectorieel product''', '''uitwendig product''' of '''uitproduct''' (niet te verwarren met het Engelse 'outer product', dat een [[tensorproduct]] is) is een [[Wiskunde|wiskundige]], [[binaire operatie]] in een [[driedimensionale]] ruimte op een [[Koppel (wiskunde)| koppel]] [[Vector (wiskunde)|vectoren]] <math>(\mathbf{a},\mathbf{b})</math> die als resultaat een vector, genoteerd als <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math>, geeft, bepaald door:
:<math>\begin{array}{rccl}
\mathbf{a} \times \mathbf{b} &=& \begin{pmatrix}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}
\end{pmatrix}
\end{array}</math>
Het kruisproduct <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math> is een vector die [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] staat op de twee oorspronkelijke vectoren <math>\mathbf{a}</math> en <math>\mathbf{b}</math>. In tegenstelling tot het [[inwendig product]], is het kruisproduct geen [[scalair]], maar een vector.
==Definitie==
[[Bestand:Cross product vector.svg|thumb
Het ''kruisproduct'' <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math> van de vectoren <math>\mathbf{a}</math> en <math>\mathbf{b}</math> in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels{{
# <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math>
# <math>\mathbf{a}</math>, <math>\mathbf{b}</math> en <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math>
# <math>\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\| \sin(\theta)</math> (''[[absolute waarde|grootte]]'' van <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}</math>), waarin θ de hoek tussen <math>\mathbf{a}</math> en <math>\mathbf{b}</math> is.
Regel 40:
\mathbf{a} \times \mathbf{b} &=& (a_x,a_y,a_z) \times (b_x,b_y,b_z)&\\
&=& \begin{vmatrix}
\end{vmatrix} &= (a_y b_z-b_y a_z)\mathbf{e}_x+(-a_x b_z + b_x a_z)\mathbf{e}_y+(a_x b_y-b_x a_y)\mathbf{e}_z\\\\
&=& \begin{pmatrix}
\end{pmatrix} &= (a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\end{array}</math>
Regel 64:
* <math>\mathbf{a}\times \mathbf{a}=\mathbf{0}</math>,
* <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}</math>,
* De [[Jacobi-identiteit|identiteit van Jacobi]]:
::<math>
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+
Regel 89:
Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren, een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat (zie onder andere [[normaalvector]]).
In de [[mechanica]] wordt een kruisproduct gebruikt om een [[Moment en koppel#moment van een kracht ten opzichte van een punt|moment ten opzichte van een punt]] uit te rekenen:
<math>\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}</math>, met <math>\vec{M} </math> het moment, <math>\vec{F} </math> de kracht, en <math>\vec{r} </math> de [[plaatsvector]]. Het zijn alle drie vectoren maar uit andere [[vectorruimte]]n.
Regel 98:
==Externe links==
* [http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html Mathworld]
[[Categorie:Meetkunde]]
| |||