Lie-algebra: verschil tussen versies

De associativiteit van de vermenigvuldiging <math>*</math> in <math>A</math> impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in <math>L(A)</math>. In het bijzonder geeft de associatieve algebra van <math>n\times n</math>-matrices over een lichaam/veld <math>F</math> aanleiding tot de [[algemene lineaire groep|algemene lineaire Lie-algebra]] <math>\mathfrak{gl}_n(F)</math>. De associatieve algebra <math>A</math> wordt de ''omhullende algebra'' van de Lie-algebra <math>L(A)</math> genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie [[universele omhullende algebra]].

 

Het bijzondere geval waarbij <math>[x,y]</math> steeds 0 is, voldoet op [[trivialiteit (wiskunde)|triviale]] wijze aan de axioma's en heet de ''commutatieve'' of ''abelse'' Lie-algebra.

 

Het [[kruisproduct|vectorproduct]] maakt van de [[Dimensie (algemeen)|driedimensionale]] [[coördinatenruimte]] <math>K^3</math> over een willekeurig lichaam <math>K</math>, een Lie-algebra.

 

Als <math>M</math> een [[gladde functie|gladde]] [[Variëteit (wiskunde)|variëteit]] is, en <math>TM</math> zijn [[raakbundel]], dan vormen de [[sectie (wiskunde)|secties]] van <math>TM</math> een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een [[Lie-groep]].