|
De '''kettingregel''' is een [[vergelijking (wiskunde)|formule]] voor het bepalen van de [[afgeleide]] van een [[samengestelde functie]]. De meesteVeel [[functie (wiskunde)|functie]]s zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de [[afgeleide]]nafgeleiden bekend zijn.
Als eende functie ''<math>f'' te schrijven is als ''f(x)'' =g\circ ''g''(''h''(''x'')), en</math> de afgeleidensamenstelling is van de functies ''<math>g''</math> en ''<math>h''</math>, zijndus bekend<math>f(x)=g(h(x))</math>, dan is:
:<math>f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) </math>,
of geschreven met differentiaalquotiënten:
of eleganter in een meer gebruikte notatie:
:<math>\frac{\operatorname{\rm d}f}{\operatorname{\rm d}x}=\frac{\operatorname{\rm d}f}{\operatorname{\rm d}h}\cdot \frac{\operatorname{\rm d}h}{\operatorname{\rm d}x}</math>
==BewijsFormalisering==
Laat <math>U</math> en <math>V</math> open [[interval]]len zijn en <math> g:U \to\R </math> en <math>h:V\to \R</math> functies met <math>h(V) \subseteq U</math>. Als <math>h</math> differentieerbaar is in het punt <math>a \in V</math> en <math>g</math> differentieerbaar in het punt <math>h(a) \in U</math>, dan is de samenstelling <math>g \circ h: V \to \R</math> differentieerbaart in <math>a</math>, en er geldt:
===Bewijs===
:<math>(g \circ h)'(xa) ~ = g'\lim_{x \rightarrow x_0} {left(g \circ h)(xa)) - (g \circright)\cdot h)'(x_0a) \over x - x_0}.</math>
=== VisueelSchets van een bewijs=== ▼(g \circ h)'(x) =
</math>
::::<math>
= \lim_{x \rightarrowto x_0a} \frac{g(g \circ h)(x)) - g(h(x_0))g \overcirc h)(a)}{x - x_0a}
</math>
::::<math>
= \lim_{x \rightarrowto x_0a} \left [ frac{g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0a)} \cdot {h(x) - h(x_0) \over x - x_0a}\right ]
</math>
::::<math>
= \lim_{x \rightarrowto x_0a} \left[ \frac{g(h(x)) - g(h(x_0a)) \over }{h(x) - h(x_0a)} \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} frac{h(x) - h(x_0a) \over }{x - x_0a} \right]
</math>
::::<math>
= \lim_{x \to a} \frac{g(h(x)) - g(h(a)}{h(x) - h(a)} \cdot \lim_{x \to a} \frac{h(x) - h(a)}{x - a}
</math>
:<math>
=g'(h(x)) \cdot h'(x)
</math>
Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan echter dat
:<math>h(x)=h( x_0a)</math> ▼
zodat in het bewijs door 0 gedeeld zou worden.
▲:<math>h(x)=h(x_0)</math>
==Toepassing van de kettingregel== ▼Hierbij wordt dus door nul gedeeld, hetgeen niet gedefinieerd is. Om dit probleem te omzeilen, voert men een hulpfunctie in.
Door een hulpfunctie te gebruiken, kan de bovenstaande regel op elke continu functie gebruikt worden.
Nemen we de functie ''u''(''v''(''x'')), we willen de afgeleide van ''u'' naar ''x'' bepalen. We doen dit door de limiet van de verhouding <math> {\Delta u \over \Delta x}</math> te nemen. De snelheid waarmee de 'inwendige' functie ''v'' verandert als ''x'' verandert is de afgeleide van ''v'' (figuur: rechtsonder); soortgelijk is de snelheid van verandering van ''u'' de afgeleide van ''u'' (figuur: rechtsboven).
[[Afbeelding:Kettenregel.PNG|center]]
In de driehoek linksboven, de afgeleide van de samengestelde functie, geldt:
: <math> {\Delta u \over \Delta x} = {\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}</math>
Nemen we de limiet voor Δx naar 0, gaan ook Δu en Δv naar nul, er volgt:
: <math> f ' ( x ) = \frac{\operatorname du}{\operatorname dv} \cdot \frac{\operatorname dv}{\operatorname dx}</math>
▲==Toepassing van de kettingregel==
===Afgeleide samengestelde functies===
==== Eenvoudig voorbeeld ====
Indien de afgeleide moet bepaald worden van de functie
==== Voorbeelden ====
De functie
:<math>f(x) = \sin(x^2)</math>
is de samenstelling van de functies
* :<math>g( hy) = \sin( hy)</math> ▼en
* :<math>h(x) = x^2</math> ▼
De afgeleide van <math>f</math> kan bepaald worden met de kettingregel:
Deze functie kan geschreven worden als
:<math>f' \left( x \right) = g' \left( {h \left( x \right) } \right) \cdot h' \left( x \right) = \cos(x^2) \cdot 2x </math> ▼
:<math>g(h(x)) = \sin(x^2)</math>
De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee verschillende functies zijn samengesteld. VeronderstelBeschouw de volgende functie: ▼met:
▲* <math>g(h) = \sin(h)</math>
▲* <math>h(x) = x^2</math>
:<math>f(x) = \sin\left(e^{\cos(2x)}\right)</math> ▼Toepassen van de kettingregel levert dan:
Deze functie is een "ketting"
▲:<math>f'\left( x \right) = g'\left( {h\left( x \right)} \right) \cdot h'\left( x \right) = \cos(x^2) \cdot 2x </math>
:<math>f = d\circ c \circ b \circ a</math>
van de functies:
==== Ingewikkelder voorbeeld ====
▲De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee verschillende functies zijn samengesteld. Veronderstel de volgende functie:
▲:<math>f(x) = \sin\left(e^{\cos(2x)}\right)</math>
Het is mogelijk bovenstaande functie te ontleden in een ketting van functies:
:<math>a(x) = 2x</math>
:<math>b(ay) = \cos(ay)</math>
:<math>c(bz) = e^bz</math>
:<math>d(ct) = \sin(c) = f(xt)</math>
De afgeleiden van deze functies zijn:
Wanneer de kettingregel wordt gevolgd, dient van iedere individuele functie de afgeleid bepaald te worden:
:<math>a'(x) = 2</math>
:<math>d'(c) = \cos(c)</math>
De afgeleide van de oorspronkelijke functie is dan het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, oftewelkort geschreven als:
:<math>f'(x)=ad'(xc) \cdot bc'(ab) \cdot cb'(ba) \cdot da'(cx)</math>
dus:
waaruit volgt dat
:<math>f'(x)=2 \cdot cos(-\sinc(b(a(x)))) \cdot e^{b(a(x))} \cdot (-\cossin(ca(x))) \cdot 2</math>
en na invulling
De afgeleide van de functie wordt vervolgens gegeven door
:<math>f'(x)=-2 \cdot \sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)} \cdot \cos(e^{\cos(2x)})</math>
===AfgeleideInverse inverse functiesfunctie===
Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie <math>f</math> en z'n inverse <math>f^{-1}</math>.
Onderstel ''g''(''x'') de [[inverse]] functie van ''f''(''x''), zodat ''f''(''g''(''x'')) = ''x'', dan is de afgeleide van ''f''(''g''(''x'')) gelijk aan
:<math>(f(g(x)))'=f'(g(x)) g'(x)=1</math>, ▼Er geldt immers: <math>f(f^{-1})(x)=x</math>, zodat volgens de kettingregel:
wegens het feit dat ''f''(''g''(''x'')) = ''x'', zodat de afgeleide van het linkerlid gelijk is aan de afgeleide van het rechterlid: 1.
▲:<math>(f (g\circ f^{-1})'(x) ))'= f'( gf^{-1}(x)) g(f^{-1})'(x)=1</math>,
Op die manier kunnen we de afgeleide van ''g'' (met behulp van de afgeleide van ''f'') bepalen:
zodat
:<math>g(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(gf^{-1}(x))}</math>.
;Toepassing
Dit kunnen we gebruiken om bijvoorbeeld de afgeleide van de [[boogsinus]] te bepalen:
De afgeleide van de [[boogsinus]]:
:<math>\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
| 