Tralie (wiskunde): verschil tussen versies

Een '''tralie''' <math>(L, \le, \or, \and)</math> is een partieel geordende verzameling <math>(''L'', ≤\le)</math>, waarin voor elk tweetal elementen ''<math>x''</math> en ''<math>y''</math> de verzameling <math>\{''x'',''y''\}</math> zowel een supremum (= kleinste bovengrens) <math>x \or y</math> als een infimum (= grootste ondergrens) <math>x \and y</math> heeft.

Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet '''begrensd'''.

De ordening en de begrippen supremum en infimum zijn erg met elkaar verbonden. In feite leggen supremum en infimum de ordening vast. Als namelijk <math>(L, \le, \or, \and)</math> en <math>(L, \le', \or, \and)</math> beide tralies zijn, is ≤ <math>\,\le\,= ≤\,\le'\,</math>, dat wil zeggen beide tralies hebben dezelfde partiële ordening. De ordening wordt immers bepaald door:

Doordat in een tralie bij elk tweetal elementen ''<math>x''</math> en ''<math>y''</math> de elementen <math>x \or y</math> en <math>x \and y</math> bestaan, zijn <math>\and</math> ("en") en <math>\or</math> ("of") [[binaire operatie|binaire bewerkingen]]. Een tralie kan daarom ook opgevat worden als een [[algebraïsche structuur]] met deze beide bewerkingen.

Een algebraïsche structuur <math>(L, \or, \and)</math>, gevormd door een verzameling ''<math>L''</math> met daarop gedefinieerd twee binaire bewerkingen, <math>\or</math> ("of") en <math>\and</math> ("en") heet een '''tralie''' als voldaan is aan:

:<math> a \or (b \or c) = (a \or b) \or c </math>

:<math> a \and (b \and c) = (a \and b) \and c </math>

:<math> a \or b = b \or a </math>

:<math> a \and b = b \and a </math>

:<math> a \or (a \and b) = a </math>

:<math> a \and (a \or b) = a </math>

:<math> a \or a = a </math>

:<math> a \and a = a </math>

:<math> a \or a = a \or (a \and (a \or b)) = a \and (a \or b) = a </math>

:<math> a \and a = a \and (a \or (a \and b)) = a \or (a \and b) = a </math>.

De machtsverzameling van een verzameling <math>V</math>, dus de verzameling van alle deelverzamelingen van <math>V</math>, is een tralie. In de zin van de eerste definitie is de ordening bepaald door het begrip deelverzameling, dus:

:<math> A \le B \Leftrightarrow A \sub B</math>

:<math> A \or B = A \cup B</math>

:<math> A \and B = A \cap B</math>.

De tralie is begrensd, met <math>0 = ∅\varnothing</math> en <math>1 = V</math>.

Omgekeerd kan een partiële ordening <math>(≤\,\le\,)</math> gedefinieerd worden in een tralie <math>(L,\or, \and )</math> volgens de tweede definitie, door:

:<math>x \le y </math> als <math> x = x \and y</math>.

Het is niet moeilijk in te zien dat de zo bepaalde relatie inderdaad een partiële ordening op ''<math>L''</math> is. Verder is nu bij elk tweetal elementen ''<math>x''</math> en ''<math>y''</math> van ''<math>L''</math> het element <math>x \or y </math> het verlangde supremum en <math>x \and y</math> het verlangde infimum, immers vanwege de absorptie-eigenschappen is:

:<math> x = (x \and y) \or x</math>, dus <math>x \and y \le x</math>

:<math> y = (x \and y) \or y</math>, dus <math>x \and y \le y</math>.

Dus <math>x \or y</math> is een majorant van <math>\{x,y\}</math> en <math>x \and y</math> een minorant.

:<math>z=z\or y=(z\or x)\or y=z\or(x\or y)=(z\and(x\or y))\or(x\or y)=x\or y</math>,.

:<math>x \and y \le z \le x </math>

:<math>x \and y \le z \le y </math>,

In de [[formeleconceptanalyse]] maakt men gebruikt van tralies voor het analyseren van gegevens die voorliggen als een binaire relatie: "object <math>x</math> heeft eigenschap <math>y</math>".