|
De '''Kolmogorovkolmogorov-Smirnovtoetssmirnovtoets''' is een [[statistische toets]] gebaseerd op een maat voor het verschil in twee verdelingen. In de vorm voor één steekproef, is het een aanpassingstoets, waarmee onderzocht wordt of de verdeling waaruit de [[steekproef]] getrokken is, afwijkt van een bekende [[verdelingsfunctie|verdeling]] zoals de [[normale verdeling]], de [[uniforme verdeling (continu)|uniforme verdeling]], de [[Poisson-verdeling]], de [[exponentiële verdeling]], e.d. In de vorm voor twee steekproeven wordt nagegaan of de verdelingen waaruit de steekproeven afkomstig zijn, van elkaar verschillen.
De toetsingsgrootheid is in het geval van één steekproef de grootste afstand tussen de empirische verdelingsfunctie en de verdelingsfunctie van de in het geding zijnde bekende verdeling, en in het geval van twee steekproeven de grootste afstand tussen de beide empirische verdelingsfuncties.
De Kolmogorovkolmogorov-Smirnovtoetssmirnovtoets is [[parametervrije toets|parametervrij]] omdat ervoor geen aannamen voor parameters in de steekproef worden gedaan.
De vorm voor twee steekproeven is een zeer geschikte parametervrije toets om na te gaan of twee steekproeven uit dezelfde verdeling afkomstig zijn, aangezien de toets gevoelig is voor zowel verschillen in plaats als in vorm van de verdelingen.
in verdeling. Daarin is <math>B(t)</math> de [[Brownse brug]].
Als <math>F_0</math> continu is, convergeert <math>\sqrt{n}D_n</math> onder de nulhypothese naar de Kolmogorov-verdelingkolmogorovverdeling (zie onder), die niet afhankelijk is van <math>F_0</math>.
====Voor twee steekproeven====
Zij <math>X_1, \dots, X_n</math> en <math>Y_1, \dots, Y_m</math> aselecte steekproeven uit verdelingen met onbekende verdelingsfuncties <math>F_X</math> resp. <math>F_Y</math>. De Kolmogorovkolmogorov-Smirnovtoetssmirnovtoets voor het toetsen van de [[nulhypothese]]
:<math>\!H_0: F_X=F_Y</math>
tegen de alternatieve hypothese
De verdeling van deze toetsingsgrootheid hangt onder de nulhypothese niet af van de veronderstelde verdeling mits deze continu is.
De Kolmogorovkolmogorov-Smirnovtoetsensmirnovtoetsen vergelijken de experimenteel gevonden empirische verdelingsfunctie met de veronderstelde verdelingsfunctie of de beide empirische verdelingsfuncties onderling, door als toetsingsgrootheid een bepaalde afstandsmaat tussen beide te berekenen. De [[stelling van Glivenko–Cantelli]] garandeert dat de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese [[bijna zeker]] naar 0 convergeert. De nulhypothese wordt verworpen voor (te) grote waarden van de toetsingsgrootheid.
==Kolmogorovverdeling==
==Kolmogorov-verdeling==
De ''Kolmogorov-verdelingkolmogorovverdeling'' is de verdeling van de stochastische variabele
:<math>K=\sup_{t\in[0,1]}|B(t)|,</math>
:<math>P(K\leq x)=1-2\sum_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} e^{-2i^2 x^2}=\frac{\sqrt{2\pi}}{x}\sum_{i=1}^\infty e^{-(2i-1)^2\pi^2/(8x^2)}.</math>
Zowel de toetsingsgrootheid van de Kolmogorov–Smirnovtoetskolmogorov–smirnovtoets als de asymptotische verdeling daarvan onder de nulhypothese zijn gepubliceerd door Kolmogorov <ref name=AK>Kolmogorov, A. (1933) "Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione" ''G. Inst. Ital. Attuari'', 4, 83</ref>. Een tabel van de verdeling is gepubliceerd door Nikolai Vasilyevich Smirnov.<ref>Smirnov, N.V. (1948) "Tables for estimating the goodness of fit of empirical distributions", ''[[Annals of Mathematical Statistics]]'', 19, 279</ref> Voor de verdeling van de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese voor eindige steekproefomvang bestaan er [[recurrente betrekking]]en<ref name=AK/>.
{{Appendix}}
| 