Kruisproduct: verschil tussen versies

Het '''kruisproduct''', '''vectorproduct''', '''vectorieel product''', '''uitwendig product''' of '''uitproduct''' (niet te verwarren met het Engelse 'outer product', dat een [[tensorproduct]] is) is een [[Wiskunde|wiskundige]], [[binaire operatie]] in een [[driedimensionale]] ruimte op een [[Koppel (wiskunde)| koppel]] [[Vector (wiskunde)|vectoren]] <math>('''\mathbf{a'''}, '''\mathbf{b'''})</math> die als resultaat een vector, genoteerd als '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b.'''}</math>, geeft, bepaald door:

:<math display="block">\begin{array}{rccl}

Als resultaat geeft hetHet kruisproduct '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}</math> is een vector die [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] staat op de twee oorspronkelijke vectoren '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math>. In tegenstelling tot het [[inwendig product]], is het kruisproduct geen [[scalair]], maar een vector.

[[Bestand:Cross product vector.svg|thumb|200px|Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math>. De vector '''<math>\mathbf{n'''}</math> staat loodrecht op '''<math>\mathbf{a''}</math> en '''<math>\mathbf{b''}</math> en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van '''<math>\mathbf{a'''}</math> naar '''<math>\mathbf{b'''}</math> gedraaid wordt.]]

Het '''kruisproduct''' '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}</math> van de vectoren '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels:

# '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}</math> staat [[loodrecht (meetkunde)|loodrecht]] op '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> (''richting'' van '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b''' }</math>)

# '''<math>\mathbf{a'''}</math>, '''<math>\mathbf{b'''}</math> en '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}</math> vormen een [[Cartesisch_assenstelsel#Ori.C3.ABntatie|rechtshandig assenstelsel]] (''[[zin (vector)|zin]]'' van '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b''' }</math>);

# <math>|'''\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}|=|'''\mathbf{a'''}| \;|'''\mathbf{b'''}| \sin(θ\theta)</math> (''[[absolute waarde|grootte]]'' van '''<math>\mathbf{a'''×'''}\times \mathbf{b'''}</math>), waarin θ de hoek tussen '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> is.

De regels 1 en 2 houden in dat de richting (met zin) van het kruisproduct bepaald wordt door de vector '''<math>\mathbf{a''' }</math> naar de vector '''<math>\mathbf{b'''}</math> te draaien alsof men een [[kurkentrekker]] hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaalt. Men noemt dit de [[kurkentrekkerregel]]. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.

Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> als zijden.

De formule voor het kruisproduct van <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)\,</math> en <math>\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)\,</math> uitgedrukt in de coördinaten van '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> luidt:

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\,</math>.

*De grootte <math>\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|</math> van de vector '''<math>\mathbf{a'''}\times x '''\mathbf{b'''}</math>, is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math>.

*Als '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> evenwijdig (parallel) zijn, is het kruisproduct '''<math>\mathbf{a'''}\times x '''\mathbf{b''' }= '''\mathbf{0''' }</math>. Omgekeerd volgt uit '''<math>\mathbf{a'''}\times x '''\mathbf{b''' }= '''\mathbf{0'''}</math>, dat '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> evenwijdig zijn (het is wel mogelijk dat '''<math>\mathbf{a'''}</math> of '''<math>\mathbf{b'''}</math> de [[nulvector]] voorstellen).

*Zijn '''<math>\mathbf{a'''}</math> en '''<math>\mathbf{b'''}</math> een paar niet evenwijdige richtingsvectoren van een vlak <math>\alpha \leftrightarrow ux+vy+wz+t=0</math>, dan is '''<math>\mathbf{n'''}(u,v,w)</math> een veelvoud van '''<math>\mathbf{a'''}\times x '''\mathbf{b'''}</math>.

* De [[Jacobi-identiteit|identiteit van Jacobi]]: '''a'''×('''b'''×'''c''') + '''b'''×('''c'''×'''a''') + '''c'''×('''a'''×'''b''') = '''0'''