Wikipedia

Ruimtegroep: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Pompidom (overleg | bijdragen)
103.245 bewerkingen
k Link naar doorverwijspagina gerepareerd (Rozet naar Rozet (patroon)), met behulp van pop-ups
k Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix
Regel 5:
 
==Ruimtegroepen en dimensie van de ruimte==
* Een patroon dat [[translatie (meetkunde)|translatie]]s in precies één dimensie (richting) bevat heet een [[patroon (vorm)|strookpatroon]]. Er zijn exact 7 '''[[strookpatroongroep]]en'''.
 
* Al meerdere eeuwen is bekend dat er in [[2 (getal)|twee]] [[Dimensie (algemeen)|dimensies]] precies 17 verschillende ruimtegroepen zijn. Die worden '''[[behangpatroongroep]]en''' genoemd. Een patroon in 2 dimensies zonder translatie (alleen rotatie en eventueel [[spiegeling]]) wordt een [[Rozet (patroon)|rozet]] genoemd.
 
* In de 3-dimensionale ruimte zijn er zonder onderscheid tussen x-, y- en z- richting 219 '''ruimtegroepen''', door onderscheid te maken tussen x-, y- en z-richting komen 11 groepen voor als [[Chiraliteit (wiskunde)|enantiomorfe paren]]. Dit brengt het totaal op precies 230 verschillende 3-dimensionale ruimtegroepen.
: Ruimtegroepen zijn vooral voor de [[kristallografie]] en de structuurbepaling middels [[Röntgendiffractie]] van groot belang. Voor de bepaling van [[magnetisme|magnetische]] structuren middels [[neutronendiffractie]] is het nodig ook rekening te houden met de richting van ongepaarde [[spin (natuurkunde)|elektronspin]]s. Dit kan geschieden door de ruimtegroepen uit te breiden met een nieuw [[symmetrie]]-element R, dat wel tijdsinversie genoemd wordt. Dit element keert de richting van een spin om zonder verder iets aan de [[atomaire structuur]] te veranderen. Door dit extra ''[[Genererende verzameling (groepentheorie)|genererend element]]'' worden, net als bij de puntgroepen, ''dubbelgroepen'' gevormd en zo verkrijgt men de 1651 ''magnetische ruimtegroepen''.
 
* In strikte zin wordt de naam ruimtegroep gebruikt voor de driedimensionale [[Euclidische ruimte]]. In de [[wiskunde]] worden ruimtegroepen soms ook in meer dan 3 dimensies bestudeerd. In dat geval worden zij soms [[Bieberbach-groep]]en genoemd. Bieberbach-groepen zijn discrete nevencompacte (cocompacte) [[groep (wiskunde)|groep]]en van [[Isometrie (wiskunde)|isometrieën]] van een [[oriëntatie (meetkunde)|georiënteerde]] [[Euclidische ruimte]].
 
== Klassificatie van de 230 ruimtegroepen ==
De 230 ruimtegroepen, en dus ook de kristallen die de symmetrie-elementen van een van deze hebben, kunnen onderverdeeld worden naar de 7 [[Kristalstructuur|kristalstelsels]], naar de 14 [[Bravaistralie|Bravaisroosters]] en naar de 32 [[Puntgroep|kristallografische puntgroepen]]. Omgekeerd genereren de 14 Bravaisroosters en de 32 puntgroepen samen de 230 ruimtegroepen. Er zijn 14 x 32 = 448 mogelijke combinaties. Vanwege [[isomorfisme]] wordt dit aantal teruggebracht tot 230 verschillende ruimtegroepen.
 
{{zieZie hoofdartikel|Kristalstructuur|Bravaistralie|Puntgroep}}
 
Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de [[Hermann-Mauguinnotatie]]; de symbolen voor de Bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine (meestal land-bepaalde) notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230. <ref>{{Bronvermelding anderstalige Wikipedia|taal=fr|titel=Groupe d'espace|oldid=61720762|datum=20110128|sectie=''Klassificatie van de 230 ruimtegroepen''}}</ref>▼
 
▲Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de [[Hermann-Mauguinnotatie]]; de symbolen voor de Bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine (meestal land-bepaalde) notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230. <ref>{{Bronvermelding anderstalige Wikipedia|taal=fr|titel=Groupe d'espace|oldid=61720762|datum=20110128|sectie=''Klassificatie van de 230 ruimtegroepen''}}</ref>
 
{| class="wikitable"
|----- align=center
| bgcolor=#c0ffff | Puntgroep
| bgcolor=#a0ff80 | Nummer
| bgcolor=#c0ffff colspan=8| Ruimtegoep naar puntgroep en naar kristalstelsel
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Triklien kristalstelsel|Triklien]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 1
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>1</small>
| ''P''1 || colspan=7|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">1</span>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>2</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">1</span> || colspan=7|&nbsp;
 
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Monoklien kristalstelsel|Monoklien]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>3-5</small>
| ''P''2 || ''P''2<sub>1</sub> || ''C''2 || colspan=5|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| ''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>6-9</small>
| ''Pm'' || ''Pc'' || ''Cm'' || ''Cc'' || colspan=4|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 2/''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>10-15</small>
| ''P''2/''m'' || ''P''2<sub>1</sub>/''m'' || ''C''2/''m'' || ''P''2/''c'' || ''P''2<sub>1</sub>/''c'' || ''C''2/''c'' || colspan=2| &nbsp;
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Orthorhombisch kristalstelsel|Orthorombisch]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2| 222
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2| <small>16-24</small>
| ''P''222 || ''P''222<sub>1</sub> || ''P''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || ''C''222<sub>1</sub> || ''C''222 || ''F''222 || ''I''222
|----- valign=top
| ''I''2<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2<sub>1</sub> || colspan=7| &nbsp;
 
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=3 | ''mm''2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=3| <small>25-46</small>
| ''Pmm''2 || ''Pmc''2<sub>1</sub> || ''Pcc''2 || ''Pma''2 || ''Pca''2<sub>1</sub> || ''Pnc''2 || ''Pmn''2<sub>1</sub> || ''Pba''2
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''Pna''2<sub>1</sub> || ''Pnn''2 || ''Cmm''2 || ''Cmc''2<sub>1</sub> || ''Ccc''2 || ''Amm''2 || ''Aem''2 || ''Ama''2
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''Aea''2 || ''Fmm''2 || ''Fdd''2 || ''Imm''2 || ''Iba''2 || ''Ima''2 || colspan=2| &nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=4 | ''mmm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=4| <small>47-74</small>
| width=72| ''Pmmm'' || width=72| ''Pnnn'' || width=72| ''Pccm'' || width=72| ''Pban'' || width=72| ''Pmma'' || width=72| ''Pnna'' || width=72| ''Pmna'' || width=72| ''Pcca''
|----- valign=top
| ''Pbam'' || ''Pccn'' || ''Pbcm'' || ''Pnnm'' || ''Pmmn'' || ''Pbcn'' || ''Pbca'' || ''Pnma''
|----- valign=top
| ''Cmcm'' || ''Cmce'' || ''Cmmm'' || ''Cccm'' || ''Cmme'' || ''Ccce'' || ''Fmmm'' || ''Fddd''
|----- valign=top
| ''Immm'' || ''Ibam'' || ''Ibca'' || ''Imma'' || colspan=4|&nbsp;
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Tetragonaal kristalstelsel|Tetragonaal]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 4
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>75-80</small>
| ''P''4 || ''P''4<sub>1</sub> || ''P''4<sub>2</sub> || ''P''4<sub>3</sub> || ''I''4 || ''I''4<sub>1</sub> || colspan=2|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">4</span>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>81-82</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span> || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span> || colspan=6|&nbsp;
 
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 4/''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>83-88</small>
| ''P''4/''m'' || ''P''4<sub>2</sub>/''m'' || ''P''4/''n'' || ''P''4<sub>2</sub>/''n'' || ''I''4/''m'' || ''I''4<sub>1</sub>/''a'' || colspan=2| &nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2| 422
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2| <small>89-98</small>
| ''P''422 || ''P''42<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>1</sub>22 || ''P''4<sub>1</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>2</sub>22 || ''P''4<sub>2</sub>2<sub>1</sub>2 || ''P''4<sub>3</sub>22 || ''P''4<sub>3</sub>2<sub>1</sub>2
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''I''422 || ''I''4<sub>1</sub>22 || colspan=6| &nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2| 4''mm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2| <small>99-110</small>
| ''P''4''mm'' || ''P''4''bm'' || ''P''4<sub>2</sub>''cm'' || ''P''4<sub>2</sub>''nm'' || ''P''4''cc'' || ''P''4''nc'' || ''P''4<sub>2</sub>''mc'' || ''P''4<sub>2</sub>''bc''
|----- valign=top
| ''I''4''mm'' || ''I''4''cm'' || ''I''4<sub>1</sub>''md'' || ''I''4<sub>1</sub>''cd'' || colspan=4| &nbsp;
 
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2| <span style="text-decoration:overline">4</span>2''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2 | <small>111-122</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>2''m'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>2''c'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>2<sub>1</sub>''m'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>2<sub>1</sub>''c'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>''m''2 || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>''c''2 || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>''b''2 || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>''n''2
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>''m''2 || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>''c''2 || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>2''m'' || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>2''d'' || colspan=4| &nbsp;
 
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=3| 4/''mmm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=3| <small>123-142</small>
| ''P''4/''mmm'' || ''P''4/''mmc'' || ''P''4/''nbm'' || ''P''4/''nnc'' || ''P''4/''mbm'' || ''P''4/''nnc'' || ''P''4/''nmm'' || ''P''4/''ncc''
|----- valign=top
| ''P''4<sub>2</sub>/''mmc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mcm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nbc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nnm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mbc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''mnm'' || ''P''4<sub>2</sub>/''nmc'' || ''P''4<sub>2</sub>/''ncm''
|----- valign=top
| ''I''4/''mmm'' || ''I''4/''mcm'' || ''I''4<sub>1</sub>/''amd'' || ''I''4<sub>1</sub>/''acd'' || colspan=4|&nbsp;
 
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Trigonaal kristalstelsel|Trigonaal]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 3
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>143-146</small>
| ''P''3 || ''P''3<sub>1</sub> || ''P''3<sub>2</sub> || ''R''3 || colspan=4|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">3</span>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>147-148</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''R''<span style="text-decoration:overline">3</span> || colspan=6| &nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 32
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>149-155</small>
| ''P''312 || ''P''321 || ''P''3<sub>1</sub>12 || ''P''3<sub>1</sub>21 || ''P''3<sub>2</sub>12 || ''P''3<sub>2</sub>21 || ''R''32 || &nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 3''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>156-161</small>
| ''P''3''m''1 || ''P''31''m'' || ''P''3''c''1 || ''P''31''c'' || ''R''3''m'' || ''R''3''c'' || colspan=2| &nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">3</span>''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>162-167</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">3</span>1''m'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">3</span>1''c'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m''1 || ''P''<span style="text-decoration:overline">3</span>''c''1 || ''R''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''R''<span style="text-decoration:overline">3</span>''c'' || colspan=2| &nbsp;
 
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Hexagonaal kristalstelsel|Hexagonaal]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 6
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>168-173</small>
| ''P''6 || ''P''6<sub>1</sub> || ''P''6<sub>5</sub> || ''P''6<sub>2</sub> || ''P''6<sub>4</sub> || ''P''6<sub>3</sub> || colspan=2|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">6</span>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>174</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">6</span> || colspan=7|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 6/''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>175-176</small>
| ''P''6/''m'' || ''P''6<sub>3</sub>/''m'' || colspan=6|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 622
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>177-182</small>
| ''P''622 || ''P''6<sub>1</sub>22 || ''P''6<sub>5</sub>22 || ''P''6<sub>2</sub>22 || ''P''6<sub>4</sub>22 || ''P''6<sub>3</sub>22 || colspan=2|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 6''mm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>183-186</small>
| ''P''6''mm'' || ''P''6''cc'' || ''P''6<sub>3</sub>''cm'' || ''P''6<sub>3</sub>''mc'' || colspan=4|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">6</span>''m''2
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>187-190</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">6</span>''m''2 || ''P''<span style="text-decoration:overline">6</span>''c''2 || ''P''<span style="text-decoration:overline">6</span>2''m'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">6</span>2''c'' || colspan=4|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 6/''mmm''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>191-194</small>
| ''P''6/''mmm'' || ''P''6/''mcc'' || ''P''6<sub>3</sub>/''mcm'' || ''P''6<sub>3</sub>/''mmc'' || colspan=4|&nbsp;
 
|----- align=center
|
|
| bgcolor=#ffffc0 colspan=8| [[Kubisch kristalstelsel|Kubisch]]
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 23
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>195-199</small>
| ''P''23 || ''F''23 || ''I''23 || ''P''2<sub>1</sub>3 || ''I''2<sub>1</sub>3 || colspan=3|&nbsp;
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| ''m''<span style="text-decoration:overline">3</span>
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>200-206</small>
| ''Pm''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''Pn''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''Fm''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''Fd''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''I''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''Pa''<span style="text-decoration:overline">3</span> || ''Ia''<span style="text-decoration:overline">3</span> || &nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| 432
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>207-214</small>
| ''P''432 || ''P''4<sub>2</sub>32 || ''F''432 || ''F''4<sub>1</sub>32 || ''I''432 || ''P''4<sub>3</sub>32 || ''P''4<sub>1</sub>32 || ''I''4<sub>1</sub>32
|----- valign=top bgcolor=#f4f4f4
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle"| <span style="text-decoration:overline">4</span>3''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle"| <small>215-220</small>
| ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''m'' || ''F''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''m'' || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''m'' || ''P''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''n'' || ''F''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''c'' || ''I''<span style="text-decoration:overline">4</span>3''d'' || colspan=2|&nbsp;
|----- valign=top
| bgcolor=#c0ffff align=center valign="middle" rowspan=2| ''m''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m''
| bgcolor=#a0ff80 align=center valign="middle" rowspan=2| <small>221-230</small>
| ''Pm''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''Pn''<span style="text-decoration:overline">3</span>''n'' || ''Pm''<span style="text-decoration:overline">3</span>''n'' || ''Pn''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''Fm''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''Fm''<span style="text-decoration:overline">3</span>''c'' || ''Fd''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''Fd''<span style="text-decoration:overline">3</span>''c''
|----- valign=top
| ''Im''<span style="text-decoration:overline">3</span>''m'' || ''Ia''<span style="text-decoration:overline">3</span>''d'' || colspan=6|&nbsp;
|}
 
{{Appendix}}
 
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruimtegroep"