Stelsel van lineaire vergelijkingen: verschil tussen versies

# Het systeem heeft oneindig veel oplossingen. (onbepaald stelsel).

# Het systeem heeft geen oplossingen. (vals of strijdig stelsel).

* Stelling 1 : Een stelsel <math>Ax=b</math> is oplosbaar, enkel[[dan en alleenslechts dan indienals]] [[rang (lineaire algebra)|rang]][A] = rang[A|b]

* Stelling 2 : Indien het stelsel oplosbaar is, is het aantal vrije oplossingen =gelijk aan het aantal variabelen -verminderd met rang[A]

Indien de uitgebreide matrix in echelonvorm staat, zijn eventuele vrije oplossingen op eenvoudige wijze te herkennen: het zijn die variabelen die in de echelonvorm geen leidende 1 in hun kolom hebben.

Bij een strijdig stelsel zal de rang[A] < rang[A|b]. Dit betekent dat, door de vergelijkingen te herschrijven, een vergelijking kan worden bekomen waarin alle coëfficiënten van de onbekenden nul zijn, maar met een rechterlid verschillend van nul.

Om de [[rang van een matrix]] op eenvoudige manier te kunnen zien, kan de uitgebreide matrix [A|b] het best in [[echelonvorm]] worden gezet.

In het algemeen wordt het gedrag van een stelsel van lineaire vergelijkingen bepaald door de verhouding tussen het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden:

# Meestal heeft een lineair stelsel met minder vergelijkingen dan onbekenden oneindig veel oplossingen, maar het kan ook geen oplossing hebben. Het stelsel heet onbepaald.

# Meestal heeft een lineair stelsel met evenveel vergelijkingen enals onbekenden een unieke oplossing. Het stelsel kan echter ook strijdig zijn, zodat er geen oplossing is, of er kan afhankelijkheid in het stelsel zijn, waardoor er in feite minder vergelijkingen zijn dan onbekenden.

# Meestal heeft een lineair stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden geen enkele oplossing. Zo'n stelsel heet overbepaald.