|
==Definitie==
Een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen ''A'' en ''BR'' is formeel gedefinieerd als heteen 3-[[tupel]] (⟨''G'', ''A'', ''B'')⟩ waarinwaarbij ''A'' en ''B'' willekeurige verzamelingen zijn en
:''G'' ⊆ ''A'' × ''B'',.
dusDeze waarinvoorwaarde betekent dat G een [[deelverzameling]] is van het [[cartesischCartesisch product]] van ''A'' en ''B''.
AlternatiefDe volgorde van de leden van het 3-tupel in de definitie kan variëren. Soms wordt een tweeplaatsige relatie welbijvoorbeeld gedefinieerd als het 3-tupel (⟨''A'', ''B'', ''G'')⟩ in plaats van (⟨''G'', ''A'', ''B'')⟩.
OokSoms wordt de tweeplaatsige relatie simpelweg gedefinieerd als een verzameling [[Koppel (wiskunde)|geordende paren]], overeenkomstig met de ''G'' alsuit de eerste definitie. Uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip ''tweeplaatsige relatie'' tussengedefinieerd, maar het begrip ''A"tweeplaatsige relatie over'' en… ''Ben'' gedefinieerd…, omdat een verzameling paren enkel een tweeplaatsige relatie is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de paren komen.<ref>Ook eigenschappen als links- en rechts-volledigheid (zie ''[[#Eigenschappen van tweeplaatsige relaties|Eigenschappen van tweeplaatsige relaties]]'') zijn enkel te definiëren in deze context.</ref> De verzameling { ⟨1, 2⟩, ⟨2, 3⟩ } is bijvoorbeeld wel een tweeplaatsige relatie over '''''[[Natuurlijke getallen|N]]''''', maar niet over de verzameling van alle meetkundige figuren. Een verzameling paren is, met andere woorden, niet een tweeplaatsige relatie zonder meer.
Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer tweeplaatsige relaties op gelijkheid getoetst worden. Neem de relaties ''R'' = ( ⟨''G'', ''X'', ''Y'')⟩ en ''S'' = ( ⟨''G'', ''X'', ''Z'')⟩, waarbij ''Y'' ≠ ''Z''. Het is evident dat in dit geval ''R'' ≠ ''S'', hoewel de verzameling geordende paren ''G'' in beide relaties hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde relaties echter als volgt gedefinieerd worden: ''R'' = ''G'' en ''S'' = ''G'', waaruit volgt dat ''R'' = ''S''.
In sommige systemen van de axiomatische [[verzamelingenleer]] worden relaties gedefinieerd op [[Klasse (verzamelingenleer)|klassen]] in plaats van verzamelingen. Deze aanpassing is onder andere nodig om de begrippen ''is een element van'' en ''is een deelverzameling van'' te kunnen beschrijven, zonder dat dit tot de [[Russellparadox|Russell-paradox]] leidt.
===Terminologie===
Als ''R'' = ( ⟨''G'', ''A'', ''B'')⟩ een tweeplaatsige relatie is, dan wordt ''G'' de '''[[Grafiek (wiskunde)|grafiek]]''' van ''R'' genoemd. ''A'' wordt het '''[[Domein (wiskunde)|domein]]''' van ''R'' genoemd en ''B'' wordt het '''[[codomein]]''' van ''R'' genoemd. Men zegt ook dat ''R'' een relatie tussenover ''A'' en ''B'' is. Van een tweeplaatsige relatie ''R'' = ( ⟨''G'', ''A'', ''A'')⟩, waarbij zowel het domein als het codomein de verzameling ''A'' is, wordt gezegd dat ''R'' een tweeplaatsige relatie over ''A'' is of dat ''R'' een tweeplaatsige relatie op ''A'' is.
Als (⟨''a'', ''b'') ∈ ⟩ ∈ ''G'', dan worden ''a'' en ''b'' '''[[Argument (wiskunde)|argumenten]]''' van ''R'' genoemd. Daarbij is ''a'' een ''linker argument'' en ''b'' een ''rechter argument''. Verder zegt men in dit geval dat ''a'' '''in''' ''R''-'''relatie staat tot''' ''b''. Als uit de context duidelijk is welke relatie bedoeld wordt, dan zegt men ook simpelweg dat ''a'' in relatie tot ''b'' staat. Wanneer de definitie gebruikt wordt waarbij een tweeplaatsige relatie een verzameling geordende paren is, dan zegt men dat ''a'' in relatie tot ''b'' staat als (⟨''a'', ''b'') ∈ ⟩ ∈ ''R''.
De '''lege relatie''' tussenover ''A'' en ''B'' is de tweeplaatsige relatie over ''A'' en ''B'' waarvan de grafiek de [[lege verzameling]] is. Als ''R'' de lege relatie over ''A'' en ''B'' is, dan geldt dat er geen ''a'' ∈ ''A'' en ''b'' ∈ ''B'' zijn zodanig dat ''a'' in R-relatie staat tot ''b''.
De '''universele relatie''' tussenover ''A'' en ''B'' is de tweeplaatsige relatie waarvan de grafiek het Cartesisch product van ''A'' en ''B'' is. Als ''R'' de universele relatie tussenover ''A'' en ''B'' is, dan geldt voor alle ''a'' ∈ ''A'' en ''b'' ∈ ''B'' dat ''a'' in R-relatie staat tot ''b''.
===Notatie===
:''Y'' = { Boek, Bal, Fiets, Zon, Maan }
is een verzameling van vijf objecten. Verder definiëren we
:''G'' = { ⟨Anna, Bal) Bal⟩, ⟨Christine, Boek) Boek⟩, ⟨Dirk, Boek) Boek⟩, ⟨Dirk, Fiets) Fiets⟩ }.
Merk op dat alle linker leden van de paren in ''G'' uit ''X'' komen en alle rechter leden uit ''Y'' komen, waaruit volgt dat
:''G'' ⊆ ''X'' × ''Y''.
''B'' = ⟨''G'', ''X'', ''Y'')⟩ is dus een tweeplaatsige relatie over ''X'' en ''Y''.
Als we met de relatie ''B'' het begrip ''bezitten'' willen beschrijven dan betekent ''B''(Dirk, Fiets) dat Dirk de fiets bezit en ''B''(Anna, Boek) dat Anna het boek bezit. Het eerste is volgens de door ons geconstrueerde relatie waar en het tweede niet waar. Merk op dat volgens onze relatie niemand de zon en de maan bezit, dat het boek in bezit is van zowel Christine als Dirk en dat Boris helemaal niets bezit.
* De doorsnede van ''R'' en het complement van ''R'' is de lege relatie over ''A'' en ''B'':
::''R'' ∩ ''R'' <sup><font size="1">∁</font></sup> = ⟨∅, ''A'', ''B'')⟩.
* De vereniging van ''R'' en het complement van ''R'' is de universele relatie over ''A'' en ''B'':
::''R'' ∪ ''R'' <sup><font size="1">∁</font></sup> = ⟨''A'' × ''B'', ''A'', ''B'')⟩.
* De inverse van het complement van ''R'' is hetzelfde als het complement van de inverse van ''R'':
::(''R'' <sup><font size="1">∁</font></sup>) <sup>−1</sup> = (''R'' <sup>−1</sup>) <sup><font size="1">∁</font></sup>.
==Homogene tweeplaatsige relaties==
In het algemeen is een homogene relatie of endorelatie een relatie waarvan alle domeinen door één en dezelfde verzameling uitgemaakt worden. Een '''homogene tweeplaatsige relatie''' of '''tweeplaatsige endorelatie''' is dan ook een tweeplaatsige relatie waarvan het domein en het codomein dezelfde verzameling zijn. Als ''R'' een homogene tweeplaatsige relatie over ''X'' is, dan wordt ''R'' soms gedefinieerd als het het tupel (⟨''G'', ''X'')⟩ in plaats van het 3-tupel (⟨''G'', ''X'', ''X'')⟩. Deze wijze van definiëren is bijvoorbeeld gebruikelijk in de [[grafentheorie]].
===Eigenschappen van homogene tweeplaatsige relaties===
Informeel gesproken is een restrictie van een homogene tweeplaatsige relatie het resultaat van het inperken van zijn domein.
Als ''R'' eenéén of meer van de eigenschappen reflexief, irreflexief, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitief, intransitief, Euclidisch, totaal, trichotoom, deterministisch of divergent heeft, dan heeft iedere restrictie van ''R'' dezelfde eigenschappen ook. Als gevolg is iedere restrictie van een equivalentierelatie ook een equivalentierelatie, iedere restrictie van een partiële orde ook een partiële orde, enz.
Als ''S'' een restrictie van ''R'' is, dan is ''R'' een '''extensie''' van ''S''.
| 