Schrödingervergelijking: verschil tussen versies

De '''schrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is in de [[kwantummechanica]] een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een kwantummechanisch systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zogenaamde [[golffunctie]] ''ψ''<math>\psi</math> en de mechanische eigenschappen door de [[Hamiltoniaan]] ''<math>H''</math> van het systeem, een [[Schrödinger-operator|operator]] die de totale energie van het systeem voorstelt. Voor een systeem van een enkel deeltje luidt de schrödingervergelijking:

:<math> i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>.

waarinDaarin is <math>\vec{r}</math> de driedimensionale plaatsvector is, <math>t</math> de tijd en <math>\hbar</math> de [[constante van Dirac]]; en ''<math>i''</math> is de [[imaginaire eenheid]]. Gegeven de toestand van het systeem, (dat wil zeggen gegeven de golffunctie ψ<math>\psi</math>), kan hiermee de evolutie (ontwikkeling in de tijd) van het systeem berekend worden. De [[kansdichtheid]] op tijdstip ''<math>t''</math> voor de positie <math>\vec{r}</math> van het deeltje wordt dan gegeven door:

De kwantummechanische [[dualiteit van golven en deeltjes|tweeledigheid]] van alle materie komt in deze vergelijking goed tot uiting. Dat wil zeggen dat deeltjes altijd een golfkarakter met zich meedragen, en golven omgekeerd altijd een deeltjeskarakter hebben. De schrödingervergelijking beschrijft een deeltje, maar de ontwikkeling van de toestand van dit deeltje is als die van een golf.

Elke meetbare fysische grootheid van het systeem correspondeert met een bepaalde [[operator]] <math> \hat{O} </math>, die een bewerking op de golffunctie definieert. Als de golffunctie een [[eigenfunctie]] is van de operator, dan heeft die operator het effect van een vermenigvuldiging van die eigenfunctie met de bijbehorende [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] van de fysische grootheid. Dus als voorde golffunctie een eigenfunctie is van de operator <math> \hat{O} </math> de golffunctie een eigenfunctie, is, dan:

:<math> \hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t) </math>.

De fysische grootheid van het systeem dat verkeert in de toestand die door de eigenfunctie beschreven wordt, heeft dan de bij meting nauwkeurig voorspelbare eigenwaarde ''o<submath>eo_e</submath>''. Een operator kan meer dan eenéén eigenfunctie hebben die een (quasi-)stabiele toestand van het systeem beschrijft; bij elke eigenfunctie hoort een eigenwaarde. Het systeem kan sprongsgewijs overgaan van de ene stabiele toestand in de andere, waarbij dus de fysische grootheid sprongsgewijs meeverandert. Dit wordt ''kwantisatie'' genoemd, waarmee de kwantummechanica zich onderscheidt van de klassieke fysica.

Verkeert het systeem niet in een toestand die met een eigenfunctie van de operator beschreven wordt, dan is de meetwaarde van ''<math>o''</math> niet nauwkeurig voorspelbaar, maar heeft een [[kansdichtheidkansverdeling]] met een eindige breedte. De [[verwachtingswaarde]] is dan te berekenen volgens:

:<math> \int \psi^*(\vec{r},t) \hat{O} \psi(\vec{r},t) {\rm d}^3 \vec{r}</math>,

waarbijwaarin <math>\psi^*(\vec{r},t)</math> de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t)</math>

Een voorbeeld om dit te verduidelijken: een meetbare waarde van het eendeeltjes-systeem in een eendimensionale ruimte is de [[impuls (natuurkunde)|impuls]] van het deeltje. De hiermee corresponderende operator is <math> -i \hbar {\partial\over\partial x} </math>. Dus gegeven de golffunctie <math>\psi(x,t)</math>, dan is de verwachtingswaarde voorvan de impuls gelijk aan:

:<math>p = \int \psi^*(x,t) (-i \hbar {\partial\over\partial x}) \psi(x,t) dx{\rm d}x </math>