|
==Algemene principes van bewijs door inductie==
Inductie is een bewijstechniek die kan worden toegepast op de [[element (wiskunde)|element]]en van een [[welgefundeerdepartiële relatieorde|welgefundeerde]]partieel [[verzameling (wiskunde)|verzamelinggeordende]]. Een welgefundeerde verzameling, ismits eende verzamelingordening metaan daaropbepaalde eenvoorwaarden [[partiële orde]]voldoet, waarinnamelijk bijdat diein de ordening geenalle oneindig aflopendeoneindige ketens voorkomen. Met inductie bewijst men dan dat een uitspraakminimaal geldt(kleinste) voorelement demoeten helehebben. verzamelingHet doorinductieprincipe tehoudt bewijzenin dat de uitspraakgeldigheid geldtvan vooreen hetuitspraak minimalebewezen elementwordt vanvoor de partiëleminimale ordeningelementen en vervolgensdat tevoor bewijzeneen datwillekeurig alselement de uitspraakgeldigheid geldtvan voorde eenuitspraak deelverzamelingvolgt vanuit de verzameling,geldigheid datvan dez'n uitspraakdirecte danvoorganger, ookals geldtdie voorer alleis, opvolgersen vananders hetuit minimalede elementgeldigheid van diealle deelverzamelingvoorgangers.
===Welgefundeerde inductie===
We zien dat de volgende drie begrippen van belang zijn: 'minimaal element', 'oneindig aflopende keten' en 'welgefundeerde verzameling'.
*Zij ''V'' een verzameling met daarop een [[Welgefundeerde relatie|welgefundeerde]] partiële ordeningorde ''R''. EenDat element <math>vhoudt \in V</math>dat iselke oneindige keten een ''minimaal element'' alsheeft. Een oneindige keten is dus altijd van de vorm:
::<math>x_0,x_1,x_2,\negldots</math> \exist_{wmet \invoor V, walle <math>n\not= v}geq 0: (w R v)x_nRx_{n+1}</math>
:Eenvoudig gezegd: ''v'' is een minimaal element als er in de partiële ordening geen element "voor" ''v'' of "kleiner dan" ''v'' is. ▼*Een deelverzameling <math>V'\subset V</math> is een ''oneindig aflopende keten'' als <math>V'</math> geen minimaal element bevat. Een oneindig aflopende keten heeft, eenvoudig gezegd, geen "begin", en een keten met een minimaal element "begint" dus ergens.
*Een welgefundeerde verzameling is een verzameling die partieel geordend is en waarvan dus alle ketens ergens beginnen.
▲:Eenvoudigen gezegd:waarin ''v'' is<math>x_0</math> een minimaal element alsis, d.w.z. er in de partiële ordeningis geen element "voor"in '' vV'' ofdat "kleiner dan" ''v'' is .:
Naast welgefundeerdheid is het echter ook nog noodzakelijk dat ieder element van de verzameling een ''directe voorganger'' heeft in de partiële ordening. De reden hiervan is technisch, maar het komt erop neer dat als niet ieder element een dergelijke, directe voorganger heeft dat het dan mogelijk is om stellingen te bewijzen die helemaal niet waar zijn door het bewijs een "sprong" te laten maken tussen twee elementen waarvan de "hoogste" geen directe voorganger heeft en zo alle elementen van de verzameling over te slaan waarvoor de stelling niet geldt.
:<math>\neg \exist v \in V, v \neq x_0 : v R x_0</math>
Bij een welgefundeerde partiële orde hoort op natuurlijke wijze een inductieprincipe, ''welgefundeerde inductie'' genoemd. Met dit principe kan van een uitspraak <math>A(v)</math> over elementen <math>v\in V</math> de geldigheid bewezen worden voor alle elementen van ''V'', door:
* de geldigheid te bewijzen voor de minimale elementen van ''V'':
::<math>v\ \text{minimaal} \Rarr A(v)</math>
* de geldigheid voor een willekeurig element <math>v\in V</math> te bewijzen onder de veronderstelling van de geldigheid van alle voorgangers van <math>v</math>.
::<math>\forall v\in V:(\forall w\in V, wRv: A(w)) \Rarr A(v)</math>
==Volledige inductie==
| 