Versie van 27 nov 2013 16:41 bewerken 82.161.191.131 (overleg) →‎Familie van de fouriertransformaties ← Oudere bewerking		Versie van 26 mrt 2014 15:13 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen →‎Basisgedachte Nieuwere bewerking →
Regel 9: In een muzikale [[toon (muziek)\|toon]] van een zekere [[frequentie]] blijken ook boventonen, dat wil zeggen tonen met een [[veelvoud (wiskunde)\|veelvoud]] van de (grond)frequentie, aanwezig te zijn. Samen bepalen ze de [[klankkleur]] van een toon. Het blijkt dat we de toon kunnen opvatten als samengesteld uit de grondtoon en de boventonen, elk met z'n eigen sterkte. Zo kan een periodiek signaal, dat aan de juiste voorwaarden voldoet, opgebouwd gedacht worden uit een "grondtoon", dat wil zeggen een cosinus met de frequentie overeenkomend met de [[Periode (wiskunde)\|periode]], en een reeks "boventonen", cosinussen met als frequentie veelvouden van de grondfrequentie. Als ''<math>T''</math> de periode is van het signaal <math>x(t)</math> (de frequentie is dan ''<math>f=1/T''</math>), kan <math>x(t)</math> geschreven worden, met <math>\omega = 2\pi f</math>, als: :<math>\,x(t) = ~~c_0~~\tfrac /12 c_0 2 + c_1 \cos(\omega t- \~~phi_1~~varphi_1)+c_2 \cos(2 \omega t- \~~phi_2~~varphi_2)+c_3 \cos(3\omega t-\~~phi_3~~varphi_3)+ ~~...~~\ldots</math> De coëfficiënten c<~~sub~~math>kc_k</~~sub~~math> vormen gezamenlijk het [[spectrum]] van <math>x</math>. Zij zijn de amplituden van de boventonen, die elk nog hun eigen fase(hoek) φ<math>\varphi_i</math> hebben. ===Fourierreeks=== :''Voor een precieze wiskundige aanpak, zie [[fourierreeks]].'' Gebruikelijker is het om <math>x(t)</math> te schrijven als som van sinus- en cosinusfuncties van de genoemde frequenties. Volgens de [[stelling van Fourier]] kan elke periodieke functie, mits deze bijvoorbeeld stuksgewijs continu is, worden uitgedrukt als een superpositie van harmonische functies met cirkelfrequenties ω<math>\omega, 2ω2\omega, 3ω3\omega, ~~...~~\ldots</math>, ofwel perioden <math>T, T/2, T/3, ~~...~~\ldots</math> :<math>\,x(t) = a_0/2+a_1 \cos(\omega t)+a_2 \cos(2\omega t)+a_3 \cos(3\omega t)+ ...</math> ::::<math>\,+b_1 \sin(\omega t)+b_2 \sin(2\omega t)+b_3 \sin(3\omega t)+ ...</math>

Fourieranalyse: verschil tussen versies