Wikipedia

Standaardafwijking: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
k link fix
redactie, -samenvoegen
Regel 1:
{{samenvoegennaar|Variantie}}
De '''standaardafwijking''' of '''standaarddeviatie''', een begrip in de [[statistiek]], is een maat voor de [[spreiding]] van een variabele of van een [[verdeling (statistiek)|verdeling]]. De standaardafwijking is gedefinieerd als de [[vierkantswortel|wortel]] uit de [[variantie]], en daardoor vergelijkbaar met de waarden van de variabele zelf. Er moet onderscheid gemaakt worden of het gaat om een [[populatie (statistiek)|populatie]] of een [[steekproef]]. Voor een steekproef is de [[variantie]] (ongeveer) het [[gemiddelde]] van de [[kwadraat|kwadraten]] van de afwijking van de metingen ten opzichte van het gemiddelde van de gegevens. Bij een populatie is de variantie de verwachte kwadratische afwijking van de [[verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]]. De standaardafwijking wordt gebruikt om de [[spreiding]] — de mate waarin de waarden onderling verschillen — van een verdeling aan te geven. De standaardafwijking wordt, anders dan de variantie, in dezelfde eenheid uitgedrukt als de verwachtingswaarde of het gemiddelde.
 
De standaardafwijking wordt gebruikt om de [[spreiding]] — de mate waarin de waarden onderling verschillen — van een verdeling aan te geven. De standaardafwijking wordt, anders dan de variantie, in dezelfde eenheid uitgedrukt als de verwachtingswaarde of het gemiddelde.
== Voorbeelden ==
==== Populatie ====
De formule voor de populatievariantie, meestal aangeduid met ''σ''<sup>2</sup> is:
:<math>\sigma^2 =\frac 1N \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2</math>,
met ''μ'' het populatiegemiddelde, ''N'' de populatieomvang, ''x''<sub>i</sub> de populatie-elementen.
 
Er moet onderscheid gemaakt worden tussen een [[populatie (statistiek)|populatie]] of een [[steekproef]]. Voor een steekproef is de variantie (ongeveer) het [[gemiddelde]] van de [[kwadraat|kwadraten]] van de afwijking van de metingen ten opzichte van het gemiddelde van de gegevens. Bij een populatie is de variantie de verwachte kwadratische afwijking van de [[verwachting (wiskunde)|verwachtingswaarde]].
Bij het werpen met een (eerlijke) dobbelsteen kunnen de ogenaantallen 1 t/m 6 met gelijke kans van 1/6 als uitkomst optreden. Het verwachte ogenaantal (populatiegemiddelde) van een worp is daarom:
:<math>\mu=\tfrac16 \cdot 1 +\tfrac16 \cdot 2 +\tfrac16 \cdot 3 +\tfrac16 \cdot 4 +\tfrac16 \cdot 5 +\tfrac16 \cdot 6 = 3\tfrac12</math>.
 
De mogelijke afwijkingen van het verwachte ogenaantal zijn:
:<math>1-3\tfrac12 = -2\tfrac12</math>,
:<math>2-3\tfrac12 = -1\tfrac12</math>,
:<math>3-3\tfrac12 = -\tfrac12</math>,
:<math>4-3\tfrac12 = \tfrac12</math>,
:<math>5-3\tfrac12 = 1\tfrac12</math>,
:<math>6-3\tfrac12 = 2\tfrac12</math>,
 
die elk met kans 1/6 voorkomen. De (populatie)variantie is dus:
:<math>\sigma^2= \tfrac16 (-2\tfrac12)^2 +\tfrac16 (-1\tfrac12)^2 +\tfrac16 (-\tfrac12)^2 +\tfrac16 (\tfrac12)^2 +\tfrac16 (1\tfrac12)^2 +\tfrac16 (2\tfrac12)^2 = \tfrac{35}{12}.</math>
 
De (populatie)standaardafwijking ''σ'' is dan:
:<math>\sigma = \sqrt{\tfrac{35}{12}}\approx 1{,}71</math>,
 
een waarde tussen de mogelijke positieve afwijkingen.
 
==== Steekproef ====
De formule voor de steekproefvariantie ''s''<sup>2</sup> is:
 
:<math>s^2 = \frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2</math>
 
Hierin zijn ''n'' de steekproefgrootte, ''x''<sub>i</sub> de steekproefelementen en <math>\bar{x}</math> het steekproefgemiddelde.
 
Gooien we 10 keer met de dobbelsteen, met als resultaat de ogenaantallen:
:<math>\scriptstyle 3,\ 5,\ 3,\ 1,\ 6,\ 4,\ 1,\ 3,\ 2,\ 4,</math>
 
dan is het steekproefgemiddelde:
:<math>\scriptstyle \bar{x}=\tfrac1{10}(3+5+3+1+6+4+1+3+2+4)=3{,}2.</math>
 
De afwijkingen van het gemiddelde ogenaantal zijn:
:<math>3-3{,}2 = -0{,}2,</math>
:<math>5-3{,}2 = +1{,}8,</math>
:<math>3-3{,}2 = -0{,}2,</math>
:<math>1-3{,}2 = -2{,}2,</math>
:<math>6-3{,}2 = +2{,}8,</math>
:<math>4-3{,}2 = +0{,}8,</math>
:<math>1-3{,}2 = -2{,}2,</math>
:<math>3-3{,}2 = -0{,}2,</math>
:<math>2-3{,}2 = -1{,}2,</math>
:<math>4-3{,}2 = +0{,}8.</math>
 
De (steekproef)variantie is dus:
:<math>\scriptstyle s^2=\tfrac19 \left( (-0{,}2)^2 + 1{,}8^2 + (-0{,}2)^2 + (-2{,}2)^2 + 2{,}8^2 + 0{,}8^2 + (-2{,}2)^2+ (-0{,}2)^2+ (-1{,}2)^2+ 0{,}8^2 \right) =2{,}62</math>
 
en de (steekproef)standaardafwijking ''s'' is:
:<math>\scriptstyle s = \sqrt{2{,}62} = 1{,}62.</math>
 
== Normale verdeling ==
Regel 67 ⟶ 15:
== Willekeurige verdeling ==
Dankzij de [[centrale limietstelling]] weten we verder dat voor veel verdelingen de verdeling van de som en dus ook van het gemiddelde van een groot aantal onafhankelijke waarnemingen daaruit, bij voldoende veel metingen bij benadering de vorm van een normale verdeling heeft. Bijgevolg gelden de bovengenoemde percentages niet alleen voor de normale verdeling, maar bij benadering ook voor het gemiddelde van een groot aantal onafhankelijke waarnemingen uit veel onbekende verdelingen.
 
== Zie ook ==
* [[Variantie]]
 
{{Navigatie beschrijvende statistiek}}
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Standaardafwijking"