Cauchyrij: verschil tussen versies

Voor de elementen <math>x_n</math> van de rij geldt dat deze voor voldoend grote <math>n</math> groter worden dan elk willekeurig getal ''L''. De [[limiet]] van de rij <math>(x_n)</math> is <math>\infty</math>.

 

Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een ''volledige'' metrische ruimte. In iedere metrische ruimte is iedere convergente rij tevens een Cauchyrij. Een metrische ruimte ''V'' wordt ''[[volledig (topologie)|volledig]]'' genoemd als ook omgekeerd elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling <math>\mathbb{R}</math> van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling <math>\mathbb{Q}</math> van de [[rationaal getal|rationale getallen]] bevat. In <math>\mathbb{R}</math> is elke Cauchyrij dus convergent.

 

De rij <math>x_n</math> is gedefinieerd als de opeenvolgende decimale benaderingen van <math>\sqrt{2}</math>:

:<math>x_n = \max\{x| x \in \mathbb{Q}; 10^{n}x \in \N; x^{2} \leq 2\}</math>