Symmetrisch verschil: verschil tussen versies

1.446 bytes toegevoegd ,  11 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
[[Afbeelding:Venn0110.svg|thumb|right|[[Venn-diagram]] van het symmetrische verschil (rood) van twee verzamelingen]]
In de [[verzamelingenleer]] is het '''symmetrische verschil''' van twee [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en de verzameling die de [[element (wiskunde)|element]]en bevat die tot een van de twee verzamelingen behoren, maar niet tot beide. Het symmetrische verschil van ''A'' en ''B'' wordt genoteerd als ''A'' Δ ''B''. Het symmetrische verschil komt overeen met het "uitsluitende of", d.w.z. met de operator [[XOR]].
 
==Definitie==
:<math>A\Delta B = \{x: x \in A\cup B \and x \not\in A\cap B\}</math>
 
Het symmetrische verschil kan ook gedefinieerdgeschreven worden als:
:<math>A\Delta B = (A\cup B) \setminus (A\cap B)</math>
:<math>A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)</math>
:<math>A\Delta B = (A\cap B^c) \cup (B\cap A^c)</math>
 
==Eigenschappen==
[[Commutativiteit]]:
:<math>A \Delta B = B \Delta A</math>
[[Associativiteit]]
:<math>(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C).</math>
De [[lege verzameling]] is [[neutraal element]]
:<math>A \Delta \varnothing = A,\,</math>
Elke verzameling in z'n eigen [[inverse|tegengestelde]]:
:<math>A \Delta A = \varnothing</math>
Samen betekenen deze eigenschappen dat de [[machtsverzameling|deelverzamelingen]] van een gegeven verzameling een [[abelse groep]] vormen met het symmetrische verschil als groepsbewerking. En omdat elk element z'n eigen tegengestelde is, vormen de deelverzamelingen een [[vectorruimte]] over het [[Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)|eindige lichaam]] '''Z'''<sub>2</sub> met twee elementen.
 
[[Doorsnede]] is [[Distributiviteit|distibutief]]:
:<math>A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C),</math>
zodat de deelverzamelingen zelfs een [[ring (wiskunde)|ring]] vormen met het symmetrische verschil als optelling en doorsnede als vermenigvuldiging.
 
==Generalisatie==
In elke [[Booleaanse algebra]] kan op analoge wijze als voor verzamelingen het symmetrische verschil van twee elementen gedefinieerd worden:
 
:<math> a \Delta b = (a \lor b) \land \lnot(a \land b) = (a \land \lnot b) \lor (b \land \lnot a)</math>
 
Deze bewerking heeft dan dezelfde eigenschappen als voor verzamelingen.
 
 
== Zie ook ==
27.051

bewerkingen