Schrödingervergelijking: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Defaultsort added without diacritical characters for sortingreasons. |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
De '''Schrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is in de [[kwantummechanica]] een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een kwantummechanisch systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zgn. [[golffunctie]]
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>,
waarin <math>\vec{r}</math> de driedimensionale plaatsvector is, t de tijd en
:<math>|\psi(\vec{r},t)|^2\,.</math>
Regel 17:
:<math> \hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t) </math>.
De fysische grootheid van het systeem dat verkeert in de toestand die door de eigenfunctie beschreven wordt, heeft dan de bij meting nauwkeurig voorspelbare eigenwaarde ''o<
Verkeert het systeem niet in een toestand die met een eigenfunctie van de operator beschreven wordt, dan is de meetwaarde van ''o'' niet nauwkeurig voorspelbaar, maar heeft een [[kansdichtheid]]
:<math> \int \psi^*(\vec{r},t) \hat{O} \psi(\vec{r},t) d^3 \vec{r}</math>,
Regel 25:
waarbij <math>\psi^*(\vec{r},t)</math> de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t)</math>.
Een voorbeeld om dit te verduidelijken: een meetbare waarde van het
:<math>p = \int \psi^*(x,t) (-i \hbar {\partial\over\partial x}) \psi(x,t) dx </math>.
== Betekenis van de Schrödingervergelijking ==
De basis voor de vergelijking is de wet van behoud van energie, die stelt dat de totale energie ''E'' de som is van de kinetische energie ''T'' en de potentiële energie ''V'':
Regel 61 ⟶ 60:
De Schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking en dat wil zeggen dat er slechts bepaalde golffuncties ψ zijn die eraan voldoen. Welke functies dat zijn wordt in belangrijke mate bepaald door hoe de potentiële energie V eruit ziet als functie van de coördinaten x,y,z van de ruimte.
V(x,y,z) wordt bepaald door de wisselwerking van het systeem (bijvoorbeeld een elektron) met zijn naaste omgeving. Het elektron wordt bijvoorbeeld aangetrokken door een positief geladen atoomkern maar juist weer afgestoten door andere elektronen. Afhankelijk van hoe ingewikkeld dit patroon van wisselwerkingen is, is het mogelijk bij grotere of minder grote benadering te berekenen wat voor functies ''ψ'' er aan de Schrödingervergelijking voldoen. Zijn de golffuncties eenmaal bekend dan kunnen daaruit middels operatoren allerlei eigenschappen berekend worden.
De golffunctie die resulteren uit deze berekeningen geven niet aan waar het elektron zich op elk ogenblik bevindt, maar leveren alleen algemene informatie over de trefkans of de waarschijnlijkheid om dit elektron op een bepaalde plaats ([[orbitaal|orbitalen]]) in het atoom te treffen.
Regel 68 ⟶ 67:
Als de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt, krijgt men door scheiding van variabelen:
:<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t)\,</math>
de volgende relaties:
Regel 82 ⟶ 81:
:<math>i\hbar{\partial\kappa(t)\over\partial t} = E\kappa(t)</math>,
en
:<math> H \phi(r)= E\phi(r).\,</math>
Deze laatste vergelijking, met de operator ''H'' en constante ''E'' is de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking. De vergelijking is een eigenwaardevergelijking voor de operator ''H'' met [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] ''E'' en [[eigenfunctie]]
==Zie ook==
| |||