Hoofdmenu openen

Paradox (logica)

bewering die zichzelf ogenschijnlijk tegenspreekt en toch waar is

Logische paradoxenBewerken

Paradox van EpimenidesBewerken

Een beroemde paradox uit de logica is de paradox van Epimenides die in de brief aan Titus geciteerd wordt. Deze luidt (al heeft Epimenides het nooit zo gezegd of bedoeld):

De Kretenzer Epimenides zegt: "Alle Kretenzers liegen altijd."

Als we deze uitspraak letterlijk interpreteren, dan is het inderdaad zo dat de uitspraak, die immers gedaan is door een Kretenzer, zichzelf tegenspreekt: de uitspraak zegt van zichzelf dat hij niet waar is, en kan dus niet waar zijn.

De uitspraak "Alle Kretenzers liegen" kan onwaar zijn (en dus een leugen) als we aannemen dat Kretenzers soms liegen, echter in dat geval liegen ze dus niet altijd.

Andere logische paradoxenBewerken

Wiskundige paradoxenBewerken

"Manhattan distance"-paradoxBewerken

Een voorbeeld van een geometrische paradox is de ontkenning van de stelling van Pythagoras:  .
Lijn   kan ruwweg benaderd worden door lijnen  .
 
De som van   en   is gelijk aan  . Lijnstuk   en   kunnen eveneens grof benaderd worden door   (overigens ook gelijk aan  ). En deze benadering is opnieuw te verfijnen tot   (ook gelijk aan  ). Dit proces kan worden herhaald tot in het oneindige en hoewel deze oneindig fijne benadering op de lijn c valt is de som van de lengtes van de deellijnen nog steeds gelijk aan  . Daaruit zou men kunnen concluderen:   en dat is in tegenspraak met de stelling van Pythagoras.

De paradox berust op de verkeerde veronderstelling dat in het beschreven limietproces de lengte mee convergeert. Weliswaar convergeert de traplijn naar de hypothenusa, maar de totale lengte van de traplijn wordt niet kleiner.

Op het oog is de zeer fijne traplijn vrijwel gelijk aan de schuine lijn, waarna de trapjes ten onrechte verwaarloosd worden omdat je ze toch niet meer ziet. Dit leidt er toe dat een rechte lijn twee vormen kan hebben, namelijk de theoretische kortste lijn tussen twee punten, en de praktische rechte lijn die kan samengesteld zijn uit een oneindig aantal kleine deelsegmenten.

In de Engelstalige literatuur wordt dit de "Manhattan distance"-paradox genoemd, naar het rechthoekige stratenplan van Manhattan.

Andere wiskundige paradoxenBewerken

Statistische paradoxenBewerken

Natuurkundige paradoxenBewerken

De semantische paradoxBewerken

Wanneer de betekenis van een of meer woorden binnen een zin verandert, is er sprake van een semantische paradox. De belangrijkste tekst van het taoïsme, de Tao Te Ching, staat vol met dit soort paradoxen. Logisch taalkundig gezien staat er een tegenspraak, maar na lang nadenken kan men achter de bedoeling van de schrijver komen. Het lijkt erop dat de schrijver een wijsheid verhuld heeft in een paradox, teneinde de lezer aan het denken te zetten.

In hoofdstuk 37 van de Tao Te Ching staat bijvoorbeeld: "Tao is eeuwig nietdoende en toch is er niets dat het niet doet." Met andere woorden, Tao doet niets en toch alles. De betekenis van het woord nietdoen is in deze zin veranderd. In de eerste betekenis wordt geduid op het niet gehecht zijn aan de resultaten van de actie die men onderneemt, en in de tweede betekenis wordt aangeduid dat men wel alles aanpakt wat men als taak of (levens)opdracht dient te volbrengen. Het 'doende zijnde niet doen' (wu wei wu). Men kan in deze paradoxen doordringen door de hele context, de filosofie of de cultuur waarin deze paradoxen geschreven zijn, te bestuderen.

Paradoxen: theorie versus praktijkBewerken

In de praktijk van het leven, de werkelijkheid, leiden paradoxale situaties tot nader inzicht in de bijzondere eigenschappen van paradoxen. Als voorbeeld hier de paradoxen met zelfreferentie zoals de leugenaarsparadox: "deze zin is onwaar". De voorgaande zin tussen aanhalingstekens verwijst naar zichzelf én ontkent de waarheid van zichzelf.

Voorbeeld in de werkelijkheid.

Met regeltechniek wordt bijvoorbeeld de richting van een raket geregeld op weg naar een zeer ver object in de ruimte. Dat gebeurt door de richting van de raket bij te regelen, als die een afwijking vertoont. Die regeling noemt men in de regeltechniek een "teruggekoppeld systeem". In een teruggekoppeld systeem wordt de werkelijk gemeten waarde afgetrokken van de gewenste waarde: het antwoord is de afwijking. Die afwijking, van bijvoorbeeld naar links, wordt dan gebruikt voor de bijsturing naar rechts. Dat lijkt op de leugenaarsparadox! Dat komt omdat links en rechts tegengesteld aan elkaar zijn en beide tegengestelde richtingen betrekking hebben op de werkelijke richting. Het lijkt op een auto die een afwijking vertoont naar links, als je die te snel of te fel en te laat naar rechts corrigeert, dan gaat de auto slingeren. De snelheid van regeling moet geleidelijk plaatsvinden. Eenvoudig regeltechnisch gesproken; rekening houden met de eigenfrequentie van het stuursysteem de terugkoppeling uitvoeren volgens een "eerste orde" met verwaarloosbare vertraging. Dit kan schematisch worden voorgesteld met:

 

In dit proces is A de gewenste waarde (van links komende). A min de teruggekoppelde waarde (via de cirkel komende vanaf B), is de input op de functie +f1: het "foutsignaal". In functie +f1 worden PID berekeningen uitgevoerd. B is de in te stellen waarde. A zou eigenlijk in de ideale situatie gelijk moeten zijn aan B. Het foutsignaal mede door de teruggekoppelde corrigerende waarde (via functie -f2) verkregen, is dan in dat geval nul. Bij een afwijking is dus de correctie negatief. Daardoor kan de situatie bestaan dat B gelijk wordt aan niet B: dat is een paradox. Qua timing, goed gedimensioneerd, leidt dit tot een stabiel systeem in plaats van een tegenstrijdigheid. Dankzij de vertraging in het systeem is dan nooit exact gelijktijding B gelijk aan -B. Echter, als de vertraging te klein is, wordt het systeem instabiel. Dan kan dit proces gebruikt worden als oscillator. B en -B en --B en ---B enz enz volgen elkaar dan in de tijd op: slingeren of oscilleren.

Een ander intrigerend effect van zelfreferentie in de werkelijkheid, is een videocamera die zijn eigen beeld opneemt via een monitor. Men kan dan oscillerende beelden krijgen met fractal-achtige eigenschappen. Een fractal is ook zelfreferent. Het zogenaamde droste-effect is vergelijkbaar. Als men de ruimte coördinaten van het drosteplaatje beschouwd, komt men in een recursieve gegevensstructuur. Zo kan men ervaren dat stellingen uit de logica, de grondslagen van de wiskunde en de theoretische informatica overeenkomsten vertonen met paradoxen. Voorbeelden hiervan zijn de Onvolledigheidsstellingen van Gödel en het beslissingsprobleem.

Zie ookBewerken