Overleg:Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder

bewijs

Noem $A_{0}=A$, $B_{0}=B$, $B_{n+1}=f(A_{n})$ en $A_{n+1}=A\setminus g(B\setminus B_{n+1})$. Steeds is $A_{n+1}\subseteq A_{n}$ en $B_{n+1}\subseteq B_{n}$. Definieer:

$A_{\omega }=\bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}$ en

$B_{\omega }=\bigcap _{j=0}^{\infty }B_{j}$.

We zullen bewijzen dat

1. $f$, begrensd op $A_{\omega }$, een bijectie van $A_{\omega }$ naar $B_{\omega }$ en
2. $g$, begrensd op $B\setminus B_{\omega }$, een bijectie van $B\setminus B_{\omega }$ naar $A\setminus A_{\omega }$ is.

Dan kunnen we de functie $h$ als volgt definiëren:

$h(x)={\begin{cases}f(x)&\mathrm {als} \ x\in A_{\omega }\\g^{-1}(x)&\mathrm {als} \ x\notin A_{\omega }\end{cases}}$

Het is in te zien dat $h$ een bijectie tussen $A$ en $B$ is.

We bewijzen nu 1 en 2:

1. Stel dat $a\in A_{\omega }$. Dan moet voor alle $n$ gelden dat $a\in A_{n}$, dus ook voor alle $n$ dat $f(a)\in B_{n+1}$. Omgekeerd, stel dat $b\in B_{\omega }$. Dan geldt dat $b\in B_{n+1}$ voor alle $n$, dus dat er voor alle $n$ een $a_{n}\in A_{n}$ is, zodat $b=f(a_{n})$. Aangezien $f$ injectief is, zijn alle $a_{n}$ hetzelfde; noem deze $a$. Nu is $a\in A_{\omega }$ en $b=f(a)$. Aangezien de restrictie van $f$ op $A_{\omega }$ een surjectieve functie van $A_{\omega }$ naar $B_{\omega }$ is en bovendien $f$ injectief is, is het een bijectie van $A_{\omega }$ naar $B_{\omega }$.
2. Stel dat $b\in B\setminus B_{\omega }$. Dat wil zeggen dat $b\notin B_{\omega }$. Dan is er een $n$ zodat $b\notin B_{n+1}$. Vanwege de definie van $A_{n+1}$ geldt dan dat $g(b)\notin A_{i+1}$, dus ook dat $g(b)\notin A_{\omega }$. Dat betekent dat $g(b)\in A\setminus A_{\omega }$. Omgekeerd, stel dat $a\in A\setminus A_{\omega }$. Dat betekent dat $a\notin A_{\omega }$. Er is dus er een $n$ zodat $a\notin A_{i+n}$. De reden daarvan moet zijn dat er een $b\notin B_{n+1}$ bestaat zodat $g(b)=a$. Aangezien $g$ injectief is, is deze $b$ uniek bepaald en ligt niet in $B_{\omega }$, dus in $B\setminus B_{\omega }$. Aangezien de restrictie van $g$ op $B\setminus B_{\omega }$ een surjectieve functie van $B\setminus B_{\omega }$ naar $A\setminus A_{\omega }$ is en bovendien $g$ injectief is, moet het een bijectie zijn.

}}

vertaald van The proof of the Schröder-Bernstein theorem.

Het is in ieder geval voor de wikipedia genoeg dat het artikel eenvoudig blijft. ChristiaanPR (overleg) 30 aug 2023 22:51 (CEST)

"Bewijs was goed"

@ChristiaanPR: Als je in deze bewerkingssamenvatting dat bewijs bedoelde dat ik hier heb weggehaald, dan moet ik je teleurstellen. Dat was geen bewijs, dat was een herhaling van de te bewijzen stelling.

Ik moet ook nog even opmerken dat de overlegpagina de plek is waar je overleg kan beginnen. De bewerkingssamenvatting is ervoor om jouw bewerking samen te vatten. Hij is niet zo geschikt om overleg te voeren, omdat iemand dan een bewerking moet doen om op jouw overleg te kunnen antwoorden. Het is me wel vaker opgevallen dat je dat doet, en het is erg irritant. De volgende keer dat ik op jouw bewerkingssamenvattingsoverleg wil reageren zal ik dat doen in de bewerkingssamenvatting van de bewerking waarin ik jouw bewerking gewoon ongelezen terugdraai. Hoopje (overleg) 29 feb 2024 20:10 (CET)

Het bewijs, een mogelijk bewijs komt erop neer overal origineel en beeld in de keten bepaald door de injectie van de linker naar de rechter verzameling om te draaien, verondersteld dat er in de rechter verzameling een element is dat geen beeld is van een element in de linker verzameling en dat dit element in de rechter verzameling het begin van die keten is. Daarmee is er een bijectie tussen de linker en de rechter verzameling gemaakt, waar het betreffende element zowel als origineel als beeld in voorkomt. Er is daarbij dus geen element te vinden dat alleen origineel is, dus is er een bijectie tussen de linker en de rechter verzameling. ChristiaanPR (overleg) 1 mrt 2024 23:34 (CET)

Welk bewijs bedoelde je dan in jouw bewerkingssamenvatting? De tekst die ik weghaalde herhaalde gewoon de te bewijzen stelling en had niks met wat je hierboven schrijft te maken. Het echte bewijs (dat hierboven nog op de overlegpagina staat) werd niet door mij maar door JOU weggehaald. Dat was, voor zover ik weet, inderdaad goed (nadat ik de fouten eruit had gehaald). Hoopje (overleg) 2 mrt 2024 08:04 (CET)