Overleg:Eerste-ordesysteem

Transferfunctie

@Patrick: Wat bedoel je met de toevoeging: Hier verschijnt de transferfunctie ... etc.?

De transferfunctie is

$H(s)=\int h(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\int {\frac {a}{\tau }}\,e^{-t/\tau }e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {a}{1+\tau s}}$

en die komt niet voor in het tijdsdomein.

Madyno (overleg) 1 jul 2020 15:40 (CEST)

De functie komt tevoorschijn als coëfficiënt van $e^{st}$, zonder eerst de laplacetransformatie te introduceren. De $s$ is geïntroduceerd in "Voor $x(t)=e^{st}$ ..". - Patrick (overleg) 1 jul 2020 18:55 (CEST)

Ik weet niet wat je bedoelt, maar de s in jouw formule is gewoon een constante parameter, die niets te maken heeft met de variabele s in hetb laplacedomein.Madyno (overleg) 1 jul 2020 19:24 (CEST)

Hij heeft alles te maken heeft met de variabele s in het laplacedomein. Zolang je een constante met een letter aanduidt kan je verschillende waarden ervoor invullen. - Patrick (overleg) 1 jul 2020 20:57 (CEST)

Analyse

DV

$\tau y'+y=e^{ct}$

$y=Ae^{ct}$

$Ac\tau +A=1$

$A={\frac {1}{1+c\tau }}$

Particuliere oplossing

$y_{P}(t)=y(t)={\frac {1}{1+c\tau }}e^{ct}={\frac {1}{1+c\tau }}x(t)$

controle

$y'(t)={\frac {c}{1+c\tau }}e^{ct}$

$\tau y'+y={\frac {c\tau }{1+c\tau }}e^{ct}+{\frac {1}{1+c\tau }}e^{ct}=e^{ct}$

Homogeen:

$y_{H}(t)=Ce^{-t/\tau }$

Algemeen

$y(t)={\frac {1}{1+c\tau }}e^{ct}+Ce^{-t/\tau }$

Beginvoorwaarde

$y(0)=0$

dan

$C={\frac {-1}{1+c\tau }}$

$y(t)={\frac {1}{1+c\tau }}(e^{ct}-e^{-t/\tau })={\frac {1}{1+c\tau }}(x(t)-e^{-t/\tau })$

Laplace

$X(s)=\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }e^{ct}e^{-st}\mathrm {d} t={\frac {1}{s-c}}$

$Y(s)={\frac {1}{1+c\tau }}\left(X(s)-{\frac {1}{s+1/\tau }}\right)={\frac {1}{1+c\tau }}\left({\frac {1}{s-c}}-{\frac {1}{s+1/\tau }}\right)\ (s\neq c?)$

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {1}{1+c\tau }}\left(1-{\frac {s-c}{s+1/\tau }}\right)={\frac {1}{1+s\tau }}$

impulsrespons:

inverselaplacegetransformeerde van $H$; volgens tabel:

$h(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-t/\tau };\quad t>0???$

controle

$y(t)=(h*x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(s)h(t-s)\mathrm {d} s=\int _{0}^{t}{\frac {1}{\tau }}e^{cs}e^{-(t-s)/\tau }\mathrm {d} s=$

$={\frac {1}{\tau }}e^{-t/\tau }\int _{0}^{t}e^{s(c+1/\tau )}\mathrm {d} s={\frac {1}{\tau }}e^{-t/\tau }{\frac {1}{c+1/\tau }}(e^{t(c+1/\tau )}-1)$

$={\frac {1}{1+c\tau }}(e^{ct}-e^{-t/\tau })$

staprespons

$i(t)=\int _{0}^{t}{\frac {1}{\tau }}e^{-s/\tau }\mathrm {d} s=1-e^{-t/\tau };t>0$

$\tau i'(t)=e^{-t/\tau };\quad t>0$

$\tau i'(t)+i(t)=1;\quad t>0$

Ook:

$c=0$

$i(t)={\frac {1}{1+c\tau }}(e^{ct}-e^{-t/\tau })=1-e^{-t/\tau }$

Madyno (overleg) 2 jul 2020 00:20 (CEST)

Fase

output

$y(t)=\mathrm {Re} \left({\frac {a}{1+j\omega \tau }}\,e^{j(\omega t+\phi )}\right)+K\,e^{-t/\tau }=$

$=a{\frac {\cos(\omega \tau +\phi )+\omega \tau \sin(\omega \tau +\phi )}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}\,+K\,e^{-t/\tau }=$

$=a\cos(\vartheta ){\big (}\cos(\vartheta )\cos(\omega \tau +\phi )+\sin(\vartheta )\sin(\omega \tau +\phi ){\big )}+K\,e^{-t/\tau }=$

$=a\cos(\vartheta )\cos(\omega t+\phi -\vartheta )+K\,e^{-t/\tau }=$

met

$\cos(\vartheta )={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}}$

Madyno (overleg) 2 jul 2020 15:58 (CEST)

Overleg

Exponentiële input: het geldt sowieso

Ik wil toch refereren aan het geval c=-1

eenvoudiger

Ik vind het niet eenvoudiger, en wil niet met poolcoordinaten aankomen. Bovendien is x(t) formeel in jouw formulering niet in poolcoördinaten uitgedrukt. Dan zou je de oplossing van de homogene vergelijking er eerst in moeten verwerken.Madyno (overleg) 5 jul 2020 11:33 (CEST)

/ ??? een wat overgreven precieze opmerking over K; eerder is K al als integratieconstante genoemd Madyno (overleg) 3 jul 2020 13:15 (CEST)

"Het geval $c\tau =-1$

In dat geval heeft de vergelijking voor $x(t)=e^{-t/\tau }$ de algemene oplossing .."

is een kromme formulering, want x is al geformuleerd voor dat geval, je zegt ook niet "als t=1 dan 1+1=2".

Ik weet niet wat je tegen poolcoördinaten hebt, die zijn in zo'n geval erg handig. Desnoods voeg je een tweede afleiding toe. Zet er dan wel bij welke goniometrische gelijkheden je gebruikt.

Ik vind het niet nodig om Re(K) te schrijven, maar de kwestie is zeker een opmerking waard.

Patrick (overleg) 3 jul 2020 13:52 (CEST)